Springen naar inhoud

[wiskunde] Bewijs mbv Epsilon-Delta-definitie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

aushim

    aushim


  • 0 - 25 berichten
  • 15 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 09 december 2005 - 19:42

Hallo,

Ik zit in het 5de middelbare en ik ben juist begonnen met "continuďteit" Ik ben bezig met de "Epsilon delta-definitie" Ik heb limieten nog niet gezien. Ik heb al onderwerp gezien over dit definitie maar het mengt zich altijd met limieten. Mijn vraag is heel gemakkelijk maar ik kan het niet...

Ik heb een oefening waar ik moet bewijzen met de epsilon-delta-definitie:

f(x)= x˛-2x-1 Is f continu in a=2

Ik begin zo: |x-2|>delta => |x˛-2x-2|>epsilon
Hoe moet ik daarna te werk gaan?

Dank u.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 december 2005 - 20:35

Het is juist andersom, om te bewijzen dat f(x) continu is in x=a, moet je bewijzen dat er voor iedere epsilon.gif>0 een delta.gif>0 bestaat zodat:

|x-a|<delta.gif :roll: |f(x)-f(a)|<epsilon.gif

In woorden: voor alle x'en die dichter dan delta.gif bij a liggen, moet f(x) minder dan epsilon.gif van f(a) afwijken. Anders uitgedrukt, er moet een gebiedje om x=a liggen waarbinnen f(x) willekeurig dichtbij f(a) ligt.

In dit voorbeeld is a=2, en er moet dus gelden: |f(x)-f(a)| = |(x2-2x-1) - (22-2[.]2-1)| = |x2-2x| < epsilon.gif.
Kun je een delta.gif vinden zodat als |x-2|<delta.gif, dan ook |x2-2x| < epsilon.gif ?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#3

aushim

    aushim


  • 0 - 25 berichten
  • 15 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 december 2005 - 15:44

Bedankt! Dus nu moet ik zo doen?

Kun je een delta.gif vinden zodat als |x-2|<delta.gif, dan ook |x2-2x| < epsilon.gif ?

Als ik nu bij |x2-2x| x buiten haken brengt kom ik aan dat:
x|x-2|<epsilon.gif

Dus epsilon.gif/3 = delta.gif en nu heb ik het bewezen :roll: Dank u

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 december 2005 - 17:22

Aushim, nu je toch zo 'radicaal' bezig bent, moet ik erop wijzen dat de stelling luidt 'voor iedere epsilon >0'.
Je delta=epsilon/3 betekent dat 0<epsilon<3. Dus als je epsilon=300 neemt voldoet delta niet meer.
Dit kan je oplossen door (bv) delta=min(1,epsilon/3) te kiezen.
Ik hoop dat je gevoelig bent voor deze 'aanwijzing', als je deze begrijpt!?!

Vraag: Hoe kom je tot je 'vondst' delta=epsilon/3

#5

aushim

    aushim


  • 0 - 25 berichten
  • 15 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 11 december 2005 - 20:43

Ja, ik was fout... Het was epsilon.gif/x en dat is de waarde van delta.gif

Ik zie wel niet wat zo 'radicaal' is :roll:

Ik heb gewoon mijn detla gedefinieerd. Als epsilon nu 300 is, dan is delta 100... (als delta.gif=epsilon.gif/3) Op dat ogenblik is epsilon.gif groter dan drie maar waarom mag het niet?

#6

Brinx

    Brinx


  • >1k berichten
  • 1433 berichten
  • Lorentziaan

Geplaatst op 11 december 2005 - 20:50

Aushim, waar haal je die '3' toch vandaan?

#7

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 12 december 2005 - 19:01

Kijk, je eist dat voor alle ε>0 er een δ (als functie van ε) te vinden is zo dat als |x-2|<δ volgt |x(x-2)|<ε.
Dit betekent: kies een ε-omgeving van f(2)=-1, dus op de y-as vanuit -1 ε naar boven en ε naar beneden.
Zorg nu dat je een passende δ-omgeving op de x-as kiest, dus vanuit 2 op de x-as δ naar rechts en δ naar links.
Als nu deze δ-omgeving (bij een willekeurige ε) zo gekozen kan worden dat voor alle x1 met 2-δ<x1<2+δ een f(x1) oplevert met -1-ε<f(x1)<-1+ε ben je klaar!
In het 'plaatje' betekent dit, dat elke x1 binnen je δ-omgeving een f(x1) binnen je ε-omgeving oplevert.
En als je nu goed naar je 'plaatje' kijkt moet je je x1 bekijken in de rechteromgeving dus als je x1 voldoet aan 2<x1<2+δ, f(x1) voldoet aan -1<f(x1)<-1+ε. Immers een x1 in de linkeromgeving is dan automatisch goed! (eens?!?)
Nu terug naar: |x-2|<δ => |x(x-2)|<ε. Je kijkt naar 2<x<2+δ, dus |x(x-2)|=|x||x-2|<(2+δ)δ<ε, dit laatste is je eis!
Nu de truc: stel δ=ε/a met a>0, dus (2+ε/a)ε/a<ε of 2+ε/a<a of ε/a<a-2 dus ε<a(a-2) nu moet ε>0 zijn dus a>2, kies a=3.
En daar komt die dan: δ=ε/3, maar dan is 0<ε<3. Kijk maar naar ε<a(a-2).
Als je nu bv ε=300 kiest en je neemt δ=100, dan moet dus gelden |x-2|<100 => |x(x-2)|<300. Ik mag nu x=100 kiezen, klopt het dan ...? Nee natuurlijk, want ε>3 gekozen. Let op m'n vorige post en hoe je dit omzeilt.

Opm: je moet wel een zeer groot en net 'plaatje' maken! Hierin teken je de ε-omgeving met de grootst mogelijke δ-omgeving, dan kan je ‘zien’ dat de δ links niet gelijk is aan de δ rechts, de δ rechts is kleiner en dit kan je (natuurlijk) ook uitrekenen.

#8

aushim

    aushim


  • 0 - 25 berichten
  • 15 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 12 december 2005 - 19:42

Fine! Nu begrijp ik het. Bedankt.

Maar ik heb nog een vraag... In jouw vorige post zeg je dat we het kunnen oplossen door:

delta.gif=min(1,epsilon.gif/3)

Wat is dat?

Ps: eigenlijk hebben we nog niet veel gedaan met continuďteit en dus ken ik gewoon een beetje theorie. Ze heeft geen oefening gevraagt in het examen dus denk ik dat we na kersmis zullen beginnen. Maar het is beter dat ik die nu begrijp.

#9

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 12 december 2005 - 23:36

Wel, neem de keuze ε=300, dan volgt δ=min(1,ε/3)=min(1,100)=1 (je moet dus het minimum van de twee getallen 1 en 100 nemen)
Vb: kies ε=0.03, dan volgt δ=min(1,ε/3)=min(1, 0.01)=0.01.
Zo zie je dat je voor elke keuze van ε een bijbehorende δ kan bepalen.

Om deze limiet-definitie goed te kunnen toepassen moet je wel de driehoeksongelijkheid kennen. Daar loop ik niet op vooruit.

#10

aushim

    aushim


  • 0 - 25 berichten
  • 15 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 13 december 2005 - 17:11

Ok ik snap het.

thx :roll:





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures