Springen naar inhoud

Differentiaalvergelijking (Bernouilli)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Zwolle

    Zwolle


  • >100 berichten
  • 130 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 december 2005 - 14:55

Vraagje...

Hoe kun je aan een differentiaal vergelijking zien welke "vorm" het is:...
Bernouilli, anderen, ...?

wat is de eigenschap van een vgl van Bernouilli ? Onderscheid tussen andere vergelijkingen ?

vb: df/dt = af - af≤

zou naar het schijnt een vgl van Bernouilli moeten zijn, .. maar waarom ?
en nog even belangrijk: Hoe losje dit eenvoudig op...
eens porberen:

df/dt = af - af≤
df/dt - af = -af≤

[Is het altijd de hoogste macht die je langst laat staan en ermee deelt ???]

df/dt.(1/f≤) - af/f≤ = -a
df/dt.(1/f≤)- a/f = -a (*)

stel z = 1/f dan wordt z' = -1/f≤ ; -z' = 1/f≤

de vergelijking wordt dan:
-z' - az = -a (*) of
z' + az = a (eerste orde D.V.)

de vraag is nu waarom die df/dt wegvalt ... in (*)

AO = ...
PO = ...

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

DePurpereWolf

    DePurpereWolf


  • >5k berichten
  • 9240 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 december 2005 - 15:56

Het heet een Bernoulli differentiaal vergelijking omdat deze beste man de gene was die er een oplossing voor heeft gevonden.

Je zoekt dus als het ware de diff vergelijking op in een lijst en gebruik de oplossingsmethode die daar aangegeven staat.

df/dt (of f' ) valt niet weg, je vervangt het door z'

volgens mij is de volgende stelling van jou niet helemaal correct:

stel z = 1/f dan wordt z' = -1/f≤ ; -z' = 1/f≤

ik moet wel zeggen, diff vergelijkingen zijn voor mij ook nog erg moeilijk, maar ook erg belangrijk.

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 december 2005 - 18:07

Hier kan je lezen hoe je een algemene DV van bernouilli herleidt naar een lineaire eerste orde DV, jouw voorbeeld is er een speciaal geval van.

http://mathworld.wol...alEquation.html

#4

Zwolle

    Zwolle


  • >100 berichten
  • 130 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 december 2005 - 19:31

Nu weet ik ook wel dat dat een toffe man was die daar zijn naam heeft aangegeven, maar hioe kun je nu efectief een Bernouilli DV herkennen !!!! hoe kan je zien dat je ze op die manier, van hem dus, moet uitwerken ?????

maar is mijn uitwerking correct... ???

zoniet zou je ze kunnen verbeteren en verder aanvullen ?

thx

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 december 2005 - 19:47

Dit geval is nog betrekkelijk eenvoudig en kan gerust zonder die substitutie.

df/dt = af - af≤
df/dt = a(f-f≤)
df/(f-f≤) = adt
df/(f(1-f)) = adt
df/f - df/(f-1) = adt
:roll: (df/f - df/(f-1)) = :P adt
ln(f) - ln(f-1) = at + c
ln((f-1)/f) = -at + c
(f-1)/f = ce-at
1-1/f = ce-at
f = 1/(1-ce-at)

Klein detail: mijn c is niet de hele tijd dezelfde c, zo werd ec een nieuwe constante die ik voor het gemak opnieuw c heb genoemd.

#6

Zwolle

    Zwolle


  • >100 berichten
  • 130 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 december 2005 - 20:11

ja goed .. dat is idd een oplossing...

maar ik had graag de goede uitwerkinge gehad van Bernouilli... :roll:

(EN WAARAAN HERKEN JE DIT DAT JE BERNOUILLI MOET/KAN GEBRUIKEN ? )


mvg,

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 december 2005 - 20:16

Je herkent Bernoulli aan het feit dat de DV van de vorm a(x)y' + b(x)y = d(x)ym is.

Voor m = 0 of m = 1 is de vergelijking lineair, met m = 2 heb je net een alternatieve oplosmethode gezien.
In het algemeen gaan we verder met de substitutie z = y1-m :roll: z' = (1-m)y/ym.

De algemene vergelijking die ik eerder vernoemde gaat dan over in a(x)z'/(1-m) + b(x)z = d(x) en dat is een lineaire vergelijking.

Toegepast op jouw voorbeeld vind je dan inderdaad:

-z' - az = -a :P z≤ + az = a

Let wel: als je z = 1/f stelt, dan is z' = -f'/f≤.

#8

Zwolle

    Zwolle


  • >100 berichten
  • 130 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 december 2005 - 20:47

ha als je storingsfunctie dus ook de term bevat zoals je d/dt term bevat dan hebben we Bernouilli....


waarom is z' = -f'/f≤.....? vanwaar komt die f' nog opeens...

die z' is toch de afgeleide nemen niet ?

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 december 2005 - 21:00

Ja, maar zowel z als f hangen van je veranderlijke af, bijvoorbeeld x.
Afleiden met de kettingregel levert dan:

Als z(x) = 1/f(x) dan is d/dx z(x) = d/dx 1/f(x) = -f'(x)/f(x)≤

#10

Zwolle

    Zwolle


  • >100 berichten
  • 130 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 december 2005 - 23:13

dus die f'(x) komt van d/dx...

als k t goed snap...

maar der staat dat z = 1/f... dan moet er toch staan voor z' = (1/f)' ... niet ??

of heb k de verkeerde manier van denken voor...

tot en met z gelijk stellen aan z= 1/f benk mee...
maar in die vgl staat ook ziets nog van 1/f≤... moet je daar dan de afgeleide van berekenen of de afgeleide van : d(df/dt) . d(1/f≤)...

moet jet dan zo doen: de afgeleide nemen van df/dt en de afgeleide van 1/f≤ ?

mvg

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 december 2005 - 23:16

Het verschil zit in het feit dat f een (verder onbekende) functie van x is. De afgeleide van 1/x is inderdaad gewoon -1/x≤, maar hier moet je de kettingregel nog toepassen!

d(1/f(x))/dx = d(1/f(x))/df(x) * df(x)/dx = -1/f(x)≤ * f'(x) = -f'(x)/f(x)≤

#12

Zwolle

    Zwolle


  • >100 berichten
  • 130 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 december 2005 - 12:08

hazo...

bij de afgeleide van 1/f(x) moet je de kettingregel toepassen

en bij de afgeleide van 1/f, niet.. oftewel d(1/f) = -1/f≤...$

als k het goed begrijp.
maar waaraan weet je of zie je dat f functie van x is ( f(x) )...?

In mijn oplossing staat er toch: 1/f.df/dt - 1/f≤ = ...hoe weet je dat die afhangt van x... ?
of is het omdat er staat df/dt...?

niet ?

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 december 2005 - 13:27

Normaalgezien hoort dat gegeven te zijn. Ik had beter in m'n voorbeeld de veranderlijke t genomen, ik zie nu dat dat zo was in de oorspronkelijke vergelijking. Vergeet dus even de x (alhoewel de bedoeling van het hele ding wel evenzeer klopt als x de veranderlijke is).

We starten met een DV die we willen oplossen naar f, waar f een functie van t is - dus f(t). In onze substitutie gaan we over op z, die dat ook van t afhangt z(t). Hoewel er in de oospronkelijke opgave gewoon verkort "f" genoteerd staat, is het dus eigenlijk f(t). Gewoonlijk bij DV's in y en x zie je ook enkel y genoteerd voor y(x).





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures