Springen naar inhoud

[Wiskunde] Vraagstukje ivm extreme waarden


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 december 2005 - 19:10

Hallo,

Maximaliseer het volume van de balk in het eerste octant met zijden evenwijdig met de coordinaats assen en het hoekpunt in het nulpunt ligt, het andere tegenovergestelde hoekpunt ligt op het vlak open gespannen door de punten (a,0,0) (0,b,0) (0,0,c) met abc groter dan nul.

Dit vraagstuk is volgens mij niet zo moeilijk op te lossen, je dient het volume in functie van je parameters vast te leggen en van deze funtie bereken je dan de afgeleide. Het grootste probleem is eigenlijk dat je dat een hoekpunt moeilijk kunt lokaliseren dit moet volgens mij te doen zijn door de afstand vanuit xy loodrecht tegen het vlak te bepalen hoe doe je dit (ik dacht dat daar een formule voor was) en hoe bepaal je zo'n vlak door die drie vectoren (de drie punten zijn zo criptisch gegeven anders lukte dat wel).

Wie kan mij hier mee helpen ? Groeten Dank bij voorbaat.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 december 2005 - 19:39

Het vlak door de punten (a,0,0), (0,b,0) en (0,0,c) wordt gegeven door de vergelijking x/a + y/b + z/c = 1.

We zoeken dus de lengte, breedte en hoogte van de balk, respectievelijk een x, y en een z coördinaat. Het volume wordt dan gegeven door V = xyz. Bovendien willen we dat het uiterste hoekpunt (x,y,z) ligt op ons vlak.

We willen dus V = xyz maximaliseren onder de nevenvoorwaarde x/a + y/b + z/c = 1.

Dit kan je bijvoorbeeld doen met een Lagrange-multiplicator. Noem de te maximaliseren functie V en de nevenvoorwaarde N en de multiplicator van Lagrange k, los dan op: :roll: V(x,y,z) = k :P N(x,y,z)

#3

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 december 2005 - 21:25

Bedankt voor het antwoord.

De vergelijking voor een vlak inderdaad maar wats het niet zoiets als (x-v)/a
voor elke term? ik herriner mij dat maar zou dan begod niet zien hoe ik dat hier moet toepassen (waarom klopt dat niet?)

Hoe weet je dat al die termen of kortweg dat je vlak gelijk is aan 1?

Groeten. Dank bij voorbaat.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 december 2005 - 23:21

Je kan de vergelijking van een vlak door drie punten bijvoorbeeld bepalen met behulp van een determinant, hetgeen hier door de vele nullen erg eenvoudig wordt. De vergelijking wordt dan gegeven door:
| x y z 1 | = 0

| a 0 0 1 |

| 0 b 0 1 |

| 0 0 c 1 |
Dit valt dan te vereenvoudigen naar x/a+y/b+z/c=1

#5

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 december 2005 - 15:54

oké dat begrijp ik wel maar het kan toch ook dat het gelijk wordt aan 2 of drie of zoiets waarom hier gelijk aan 1

#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 16 december 2005 - 16:36

Vul nu (gewoon) de coördinaten van de 3 ptn in!

#7

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 december 2005 - 19:02

Ik snap wel wat ik moet doen maar ik begrijp nog altijd niet waarom dat dat vlak gelijkgesteld kan worden aan 1 ?? waar haal je dat

Groeten.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 december 2005 - 22:19

Je kan formeel bewijzen dat een vlak door 3 punten gegeven wordt door die determinant gelijk aan 0 (uiteraard dan wel met de betreffende coördinaten). Je kan er eveneens richtingen ipv punten insteken, dan is het laatste getal 0 ipv 1.

Als je het op deze manier niet 'gelooft', ga dan uit van de algemene vergelijking van een vlak ax+by+cz+d=0, vul de 3 punten in om zo een stelsel te bekomen.

#9

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 december 2005 - 09:30

ik wil je best geloven maar ik zou uit deze vragen ook wat willen leren hé.

daarom dat je dat determinatje uitwerkt begrijp ik nog wel je berekend het vectorieel product maar waarom dat je het vlak ax +by+cz=1 waarom is dat?
http://expand.xs4all...o?file=vlak.JPG op deze pagina wordt dat gelijk aan d gesteld dus kan verschillende waardes aannemen

Snap je wat mij probleem is? Groeten.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 december 2005 - 11:26

Dat is een vlak loodrecht op (a,b,c), steeds de normaalvector (in ons voorbeeld is dat (1/a,1/b,1/c).

De vergelijking van een vlak kan je opstellen met die determinant (volg je dat?). Werk die determinant eens uit en kijk of je op de door mij gegeven vergelijking kan uitkomen.

#11

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 december 2005 - 13:59

Fantatisch ik kan door uitwerken van die determinant inderdaad de door jouw gevonden uitdrukking vinden.
Inderdaad dat wordt dan gelijk aan 1 da klopt. Nu rest mij enkel nog de vraag hoe kom er er op op die wijze een vlak te gaan bepalen?
(voila http://expand.xs4all...lakbepaalt.JPG)
Weet je eigenlijk waar ik mee vastzit wel dit is een vraagstukje op neven voorwaarden en bij al die ander stond er in de opgave gedefineerd dat bv mijn a plus mijn b gelijk moet zijn aan iets. Hier stond in de opgave enkel dat al die waardes groter dan nul moeten zijn. die 1 is eigenlijk toch de z waarden bij x en y is nul maar waarom kan dat niet bv 2 zijn hoe weet jij dat??

Groeten. (dus ik kom er wel aan mij begrijp nog altijd niet welke info je nu net gebruikt.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 december 2005 - 17:38

Je nevenvoorwaarde is hier inderdaad niet expliciet gegeven door een vergelijking, maar het feit dat a,b en c hier groter dan 0 moeten zijn is niet de eigenlijke nevenvoorwaarde! De nevenvoorwaarde (zoals in m'n uitleg beschreven) is het feit dat dat hoekpunt op dat vlak moet liggen, en dat vertaalt zich wel in een vergelijking als nevenvoorwaarde.

In je uitwerking van de determinant zal je wel ergens een tekenfout hebben gemaakt, ook de y-term is positief.

#13

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 december 2005 - 19:19

Kan je mij in één zin zeggen waarom de nevenvoorwaarde de deze dan is?

Groeten

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 december 2005 - 20:59

Hoezo in één zin?

Het principe van extreme waarden is simpel: je hebt een functie en je zoekt waar deze functie extreem wordt. Bijvoorbeeld: y = x² wordt extreem in x = 0, maar y = x heeft geen extremum.

Daarnaast kunnen we extreme waarden van een functie zoeken, maar waarbij we nog extra voorwaarden opleggen, "nevenvoorwaarden". Een willekeurig vlak bijvoorbeeld heeft in het algemeen geen extrema, maar wanneer je dit vlak snijdt met een cilinder heb je wel mogelijk extreme waarden. Je kan dus de extreme waarde van het vlak onderzoeken, onder de 'nevenvoorwaarde' van die cilinder.

In dit geval wil je een balk maximaliseren (in principe neem je dan gewoon oneindige zijdes...), maar onder de nevenvoorwaarde dat het eindhoekpunt in een bepaald vlak moet liggen.

#15

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 december 2005 - 21:45

Ik begrijp wat men bedoelt met die nevenvoorwaarde geen problemen mee ik snap alleen niet hoe ik dat moet vertalen in een wiskundig geven in dit vraagstuk.

Laat me mij verduidelijken je wilt de extreme waarden vinden van bv y=ax onder de nevenvoorwaarden dat x+y= 2 maw woorden zoek een x waarvoor de functie maximum wordt. Dit begrijp ik dus, maar hoe dit in dit vraagstuk (met die balk) vertaalt wordt begrijp ik niet.

Groeten.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures