Springen naar inhoud

[Wiskunde] Een lastige differentiaalvergelijking van de eerste orde


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Koen2704

    Koen2704


  • >25 berichten
  • 31 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 december 2005 - 19:57

(x-y-1)dx + (4x+y-1)dy = 0
Hier is hij dan, ik vermoed dat je deze moet oplossen met substitutie, ik zie alleen niet direct hoe... Kan iemand mij op weg helpen ? ? ? :roll:

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 december 2005 - 20:04

Het is geen juiste differentiaalvergelijking, maar er is wel nog een andere methode voor DV'en van dit type.

(x-y-1)dx + (4x+y-1)dy = 0
dy/dx = (x-y-1)/(-4x-y+1)

Beschouw teller en noemer van de breuk rechts nu als twee rechten. Ze snijden in (a,b). Voer dan de substitutie uit: x = t+a en y = u+b.
De differentiaalvergelijking zal hierdoor tot een homogene vergelijking herleid zijn.

#3

Koen2704

    Koen2704


  • >25 berichten
  • 31 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 december 2005 - 20:33

Oké, mooi zo! Hier kom ik al een pak verder mee! 8)

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 december 2005 - 20:34

Ik kan niet garanderen dat je tot een mooie oplossing kan komen, maar in theorie blijft er niet veel meer over dan de homogene vergelijking op te lossen - dit kan wel leiden tot nogal vervelende integralen, maar goed... :wink:

#5

Koen2704

    Koen2704


  • >25 berichten
  • 31 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 december 2005 - 20:35

Kan je misschien de logica hierachter meer verduidelijken, b.v. de substituties?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 december 2005 - 20:41

Bedoel je voor het vervolg (de homogene vergelijking) of de algemene methode voor DV's van dit type, dus met die substitutie die ik net beschreef?

#7

Koen2704

    Koen2704


  • >25 berichten
  • 31 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 december 2005 - 20:44

Ik wil beide methodes wel eens weten... Maar nu eerst deze methode :roll: stap voor stap aub

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 december 2005 - 21:10

Beschouw in het algemeen een DV van de vorm: y' = f((ax+by+c)/(a'x+b'y+c'))

Zoals ik al zei beschouwen we teller en noemer even als rechten. Er zijn dan twee gevallen: de rechten snijden of ze zijn evenwijdig.

De rechten snijden

Er bestaat dus een snijpunt (p,q). We voeren de volgende substitutie uit:
x = u + p en y = v + q

Vermits (p,q) op beide rechten ligt hebben we:
ap+bq+c = 0 => ax+by+c = ax+by+c - (ap+bq+c) = a(x-p) + b(y-q) = au + bv
Analoog vind je dat a'x+b'y+c' = a'u + b'v

Hierdoor herleidt de vergelijking zich tot y' = f(au + bv)/(a'u + b'v) en deze is homogeen.

De rechten zijn evenwijdig

Dit impliceert dat a/a' = b/b' = k (een constante). We kunnen dan herschrijven:
y' = f((ax+by+c)/(a'x+b'y+c')) = f((ax+by+c)/(k(ax+by)+c'))

Substitutie: u = ax+by. Hieruit volgt ook dat y = (u-ax)/b en dus y' = (u'-a)/b. De DV herleid zich dan tot:
(u'-a)/b = f((u+c)/(ku+c'))

Deze is te scheiden in de veranderlijken:
du/(a+b f((u+c)/(ku+c'))) = dx





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures