Springen naar inhoud

Bewijsje I.v.m. Lineaire Functies



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 april 2012 - 10:37

Stel we hebben twee functies, noem ze f(x) en g(x), die beide lineair zijn.
Deze functies voldoen dus aan de volgende voorwaarden:

1) f(Ax) = A f(x) voor alle x ∈ Rn en A ∈ R

2) f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) voor alle x ∈ Rn

De vraag is nu:

Hoe bewijzen we dat de samenstelling van deze twee functies (f o g), opnieuw lineair is ?

Dank bij voorbaat!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 april 2012 - 10:44

Opdat f o g lineair is, moet ook f ○ g aan die voorwaarden voldoen, ga dus na of:
- (f o g)(ax) = a.(f o g)(x),
- (f o g)(x+y) = (f o g)(x)+(f o g)(y).

Gewoon uitschrijven met (f o g)(x) = f(g(x)) en de lineariteit van f en g gebruiken.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 april 2012 - 10:59

Heel eenvoudig dus.

f(g(Ax)) = f(A(g(x)
= A f(g(x))

Dus f o g voldoet aan voorwaarde (1)

f(g(x1 + x2)) = f(g(x1) + g(x2)) = f(g(x1)) + f(g(x2))

f o g voldoet ook aan voorwaarde (2)

Aangezien f o g aan beide voorwaardes voldoet is deze lineair; waardoor het bovenstaande bewezen is.

Bedankt TD :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 april 2012 - 11:02

Soms is het eenvoudig! :eusa_whistle:
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures