Springen naar inhoud

Bewijs Rijen Met Samenlopende 'staart'



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 april 2012 - 15:16

"Beschouw twee rijen (Xn)n N en (yn)n N. Veronderstel dat er k ∈ N bestaat zo dat Xn = Yn voor alle n ≥ k. dan heeft de rij (Xn)n N een limiet als en slechts als de rij (yn)n N een limiet heeft. bovendien zijn beide limieten dan gelijk."

Ik heb een vermoeden over hoe ik dit zou kunnen bewijzen, maar ik weet niet zeker of dit klopt:


-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Bewijs:

Veronderstel dat:

Lim Xn = a
n -> oo

Lim Yn = b
n -> oo

We kunnen via contradictie bewijzen dat a en b wel aan elkaar gelijk moeten zijn.

Veronder stel dat a,b ∈ R en dat a > b. Stel M = (a-b) / 2, omdat a > b is M > o.

1) Indien de Lim Xn = a (n -> oo), kunnen we een willekeurig, strikt positief getal kiezen, noem het M ∈ R. We kunnen nu altijd een n0 ∈ N vinden zo dat | Xn - a | < M, voor alle indices n ≥ n0.

Wat equivalent is met:

Xn > a - M = (a+b) / 2

2) Indien de Lim Yn = b (n -> oo), kunnen we een willekeurig, strikt positief getal kiezen, noem het M ∈ R. We kunnen nu altijd een n1 ∈ N vinden zo dat
| Yn - b | < M, voor alle indices n ≥ n1.

Wat equivalent is met:

Yn < b + M = (a+b) / 2 (*)

Kies nu een willekeurige n' ≥ k, die groter is als n0 en als n1. In dit geval zullen we 'Yn' kunnen vervangen door 'Xn' (of omgekeerd).

We krijgen dus voor (*):

Yn = Xn < b + M = (a+b) / 2

Hieruit volgt:

Dat Xn' zowel strikt groter als strikt kleiner moet zijn dan (a+b) / 2; wat natuurlijk strijdig is.
Dus a = b, hiermee is het bovenstaande bewezen.


-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Klopt dit ? :D
En hoe zit het met het geven "...heeft de rij (Xn)n N een limiet als en slechts als de rij (yn)n N een limiet heeft." ?

Dank bij voorbaat!

Veranderd door Biesmansss, 02 april 2012 - 15:19

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 april 2012 - 17:01

Voor iedere e>0 is er een N zo dat; |x(n)-L|<e voor all n>N.

Als ik n groter dan het maximum van N en k kies, dan geldt er:

|x(n)-L| = |y(n)-L| <e maar dan geldt er per definitie dat y(n) => L voor n -> oneindig.

Is dit bewijs correct?
Quitters never win and winners never quit.

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 april 2012 - 17:30

Er is eerst gevraagd te tonen dat rij x convergeert enkel en alleen indien rij y convergeert; het is dus wat snel om te veronderstellen dat x en y een limiet hebben (idem bij Biesmansss); ze kunnen immers ook allebei divergeren.

Maar als je toont: x convergeert naar L => y convergeert naar L én vice versa, dan heb je de equivalentie. Die gevallen zijn natuurlijk perfect symmetrisch, maar dat moet je voor de volledigheid wel vermelden, toch wanneer je het bewijs netjes wil opschrijven.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 april 2012 - 17:40

Er is eerst gevraagd te tonen dat rij x convergeert enkel en alleen indien rij y convergeert; het is dus wat snel om te veronderstellen dat x en y een limiet hebben (idem bij Biesmansss); ze kunnen immers ook allebei divergeren.

Maar als je toont: x convergeert naar L => y convergeert naar L én vice versa, dan heb je de equivalentie. Die gevallen zijn natuurlijk perfect symmetrisch, maar dat moet je voor de volledigheid wel vermelden, toch wanneer je het bewijs netjes wil opschrijven.


Hoe toon ik aan dat ze convergeren ? Of moet ik er gewoon bij vermelden dat ik veronderstel dat het convergerende rijen zijn ?

Veranderd door Biesmansss, 02 april 2012 - 17:43

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 april 2012 - 17:59

Hoe toon ik aan dat ze convergeren ? Of moet ik er gewoon bij vermelden dat ik veronderstel dat het convergerende rijen zijn ?


Heb ik hier trouwens niet veel meer mogelijkheden ?

1) Lim Yn = + oo

Dan kan ik via contradictie 2 keer bewijzen dat Xn niet gelijk kan zijn aan:

a) a ∈ R
b) -oo

-> n dus enkel aan +oo

2) Lim Yn = - oo

Dan kan ik via contradictie 2 keer bewijzen dat Xn niet gelijk kan zijn aan:

a) a ∈ R
b) +oo

-> en dus enkel aan -oo

3) Lim Yn = b ∈ R

Dan kan ik via contradictie 2 keer bewijzen dat Xn niet gelijk kan zijn aan:

a) +oo
b) -oo

-> en dus enkel aan b∈ R
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 april 2012 - 18:48

Hoe toon ik aan dat ze convergeren ? Of moet ik er gewoon bij vermelden dat ik veronderstel dat het convergerende rijen zijn ?

Je moet niet 'tonen' dat ze convergeren, dat is in de stelling helemaal niet gegeven. Je moet tonen dat als de ene convergeert, dan ook de andere; én vice versa. Als convergeren equivalent is, dan volgt automatisch dat ze ook samen 'niet convergeren', dus divergeren.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 april 2012 - 19:05

Dat doe ik toch ongeveer ? als Yn naar b convergeert, zal Xn naar a convergeren en a = b.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 april 2012 - 19:10

Je quote mijn reactie op dirkwb, ik reageerde daarna enkel op:

Hoe toon ik aan dat ze convergeren ? Of moet ik er gewoon bij vermelden dat ik veronderstel dat het convergerende rijen zijn ?

"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 april 2012 - 21:14

Er is eerst gevraagd te tonen dat rij x convergeert enkel en alleen indien rij y convergeert; het is dus wat snel om te veronderstellen dat x en y een limiet hebben (idem bij Biesmansss); ze kunnen immers ook allebei divergeren.

Dat doe ik toch niet?

Maar als je toont: x convergeert naar L =&--#62; y convergeert naar L én vice versa, dan heb je de equivalentie. Die gevallen zijn natuurlijk perfect symmetrisch, maar dat moet je voor de volledigheid wel vermelden, toch wanneer je het bewijs netjes wil opschrijven.

Dat toon ik toch aan: Als rij y(n) convergeert met limiet L dan convergeert rij x(n) met limiet L, zie mijn bewijs (en vice versa).
Quitters never win and winners never quit.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 april 2012 - 21:23

Dat doe ik toch niet?


Je begint met:

Voor iedere e>0 is er een N zo dat; |x(n)-L|<e voor all n>N.


Dus je veronderstelt (stilzwijgend) toch dat x naar L convergeert...? Als x namelijk niet naar L convergeert, kan je dit niet opschrijven (en geldt dit ook niet).

Dat toon ik toch aan: Als rij y(n) convergeert met limiet L dan convergeert rij x(n) met limiet L, zie mijn bewijs (en vice versa).


Zoals ik al opmerkte is de omgekeerde implicatie natuurlijk volstrekt analoog, maar als je het bewijs netjes wil opschrijven moet je dat op z'n minst wel opmerken (of toch opnieuw uitschrijven).

Ik zag dus maar een implicatie en de veronderstelling dat rij x convergeert.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 april 2012 - 21:54

Je hebt gelijk ik heb het niet netjes opgeschreven maar de strekking is wel duidelijk :)
Quitters never win and winners never quit.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 april 2012 - 21:58

Ja natuurlijk, maar het is aan zo'n bericht niet goed te 'lezen' of je het wel goed bedoelt en alleen wat 'beknopt' opschrijft of niet ;).
Aangezien Biesmansss hier blijkbaar oefent in het zelf vinden en opschrijven van bewijsjes, lijkt het me geen slecht idee om daar toch wat aandacht aan te besteden - vandaar mijn opmerkingen :).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 april 2012 - 23:06

Heb ik hier trouwens niet veel meer mogelijkheden ?

1) Lim Yn = + oo

Dan kan ik via contradictie 2 keer bewijzen dat Xn niet gelijk kan zijn aan:

a) a ∈ R
b) -oo

-> n dus enkel aan +oo

2) Lim Yn = - oo

Dan kan ik via contradictie 2 keer bewijzen dat Xn niet gelijk kan zijn aan:

a) a ∈ R
b) +oo

-> en dus enkel aan -oo

3) Lim Yn = b ∈ R

Dan kan ik via contradictie 2 keer bewijzen dat Xn niet gelijk kan zijn aan:

a) +oo
b) -oo

-> en dus enkel aan b∈ R



Maar klopt deze redenering nu ? Dat ik het op al deze manieren via contradictie eigenlijk moet aan tonen om het geheel te bewijzen ?
En zoals u dus voorheen vermelde mag ik dan stellen dat wanneer ze convergeren ze dit beide doen; waaruit volgt dat als ze divergeren ze dit ook beide doen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 april 2012 - 23:12

Of je al die mogelijkheden moet afgaan, hangt af van de definities die jouw cursus hanteert. Als je enkel spreekt over convergeren naar L in het geval dat L een reëel getal is, dan is dit allemaal te veel werk. Zie eerdere opmerkingen + de aanzet van dirkwb om het dan netjes op te schrijven, dat kan vrij kort.

Als je de gevallen "convergeren" naar +oneindig (resp. -oneindig) ook moet zien als 'het hebben van een limiet' - en voor deze stelling dus moet aantonen dat die voor rijen x en y gelijk zijn - dan moet je die gevallen inderdaad apart doen. Dat kan ongerijmd, maar ook direct.

Bv: als rij x limiet +oneindig heeft, dan is er voor elke M wel een N zodat voor n>N, x(n) > M. Voor n groter dan zowel N als k (zie gegevens), geldt dan ook dat y(n) > M dus y heeft eveneens +oneindig als limiet (of je dat nu 'convergeren' of 'divergeren' noemt, is dan bijzaak).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures