Springen naar inhoud

Limiet


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Puntje

    Puntje


  • >250 berichten
  • 316 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 april 2012 - 17:45

Hallo,

Ik heb een vraag over de volgende limiet:

LaTeX

In mijn boek wordt er een formeel bewijs geleverd via de eenheidscirkel en de "squeeze theorem".

Ik beredeneer deze limiet echter iets informeler. In de natuurkunde benaderen we sin(x) rond x=0 vaak met sin(x)=x. Substitutie in de bovenstaande limiet levert direct het resultaat. Is dit toegestaan als "een bewijs" voor deze limiet?

Veranderd door Puntje, 02 april 2012 - 17:46


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 april 2012 - 18:00

Je vervangt de functie door zijn Taylor reeks, en bij een limiet naar 0 is enkel de laagste macht van een 'polynoom' van belang. Dit is een van de standaardtechnieken om bepaalde limieten op te lossen.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#3

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 april 2012 - 19:14

Je vervangt de functie door zijn Taylor reeks, en bij een limiet naar 0 is enkel de laagste macht van een 'polynoom' van belang. Dit is een van de standaardtechnieken om bepaalde limieten op te lossen.


Ik vraag me af of dat wel mag, want de Taylor ontwikkeling wordt bepaald met behulp van afgeleiden van sin(x)

Maar om aan de afgeleide van sin(x) te komen is nu net weer die gevraagde limiet nodig.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 april 2012 - 19:17

Ik beredeneer deze limiet echter iets informeler. In de natuurkunde benaderen we sin(x) rond x=0 vaak met sin(x)=x. Substitutie in de bovenstaande limiet levert direct het resultaat. Is dit toegestaan als "een bewijs" voor deze limiet?

Neen. Want die benadering is nu net een gevolg van de limiet die je zoekt. Dus je gebruikt het te bewijzen in je bewijs. Zie je?

Overigens lijkt er mij toch niets mis met een formeel bewijs? Dat is net Wiskunde ;).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 april 2012 - 19:21

Ah ok. Maar dat hangt natuurlijk ook af van hoe je sin(x) gedefinieerd hebt.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 april 2012 - 19:43

Ik vraag me af of dat wel mag, want de Taylor ontwikkeling wordt bepaald met behulp van afgeleiden van sin(x)

Maar om aan de afgeleide van sin(x) te komen is nu net weer die gevraagde limiet nodig.

Neen. Want die benadering is nu net een gevolg van de limiet die je zoekt. Dus je gebruikt het te bewijzen in je bewijs. Zie je?


Als je de sinus op zo'n manier invoert dat je deze limiet niet nodig hebt voor de afgeleide, dan is er toch geen probleem?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 april 2012 - 20:20

Als je de sinus op zo'n manier invoert dat je deze limiet niet nodig hebt voor de afgeleide, dan is er toch geen probleem?

Nee maar dan moet die manier er wel zijn, ik zie die niet zo een twee drie.
Misschien zou het kunnen via de complexe e-machten, maar daar kleven ook wat problemen aan.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 april 2012 - 20:25

We gaan het hier natuurlijk niet 'opbouwen', maar je kan sinus en cosinus bv. definiëren via machtreeksen of zelfs direct als oplossingen van een differentiaalvergelijking met bepaalde beginvoorwaarden.

Mijn punt was dus vooral, zoals ZVdP ook opmerkte (zag ik later pas), dat het afhangt van de 'route' die je volgt of je hiermee al dan niet in een cirkelredenering terechtkomt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 april 2012 - 20:38

Dan zal toch moeten worden aangetoond dat de nieuwe definitie consistent is met de oude, anders heeft men het over een andere functie.

Dat lijkt me niet zo gemakkelijk eerlijk gezegd.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 april 2012 - 20:48

Uiteraard doe je dat hier niet op 1, 2, 3 (hoewel ik het uiteraard op andere, maar equivalente definities doel); maar dat is ook niet de vraag. We hebben de sinus op de manier die jij 'in gedachte hebt' hier toch ook niet formeel ingevoerd? Dat alleen is ook al niet evident... ;)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 april 2012 - 21:22

Dat dacht ik wel, via de eenheids cirkel en de coördiaten daarop geven de sinus en cosinus.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 april 2012 - 21:32

Het ligt er maar aan wat we verstaan onder 'formeel invoeren', blijkbaar. Maar dit gaat off topic. On topic was de opmerking dat een mogelijke cirkelredenering niet noodzakelijk aanwezig is. Equivalenties van verschillende definities aantonen is mogelijk, maar hier niet aan de orde. Als het je interesseert kan je natuurlijk wel eens in de literatuur gaan neuzen: er zijn boeken die de goniometrische functies formeel invoeren via bv. machtreeksen of differentiaalvergelijkingen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 april 2012 - 21:37

Als je de sinus op zo'n manier invoert dat je deze limiet niet nodig hebt voor de afgeleide, dan is er toch geen probleem?

Ik weet niet zeker of ik het juist zie. Maar mijn reactie was niet op tempelier hè. Maar op puntje's post. En dan in het bijzonder op zijn 'losse' methode.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 april 2012 - 21:43

Maar je kan zijn 'losse methode' wel formaliseren, door stukjes Taylorreeksen te gebruiken in het berekenen van limieten. Het is dus niet per se zo dat je met deze limiet een lineaire benadering van sin(x) rond 0 bewijst en daardoor niet kan gebruiken; als je die informatie over de sinus al op een andere manier kan te weten komen.

Maar om het voor Puntje niet verwarrender te maken dan nodig: wellicht is dat niet wat er in zijn/haar cursus gebeurt want dan zouden ze die moeite niet doen om die limiet op deze manier aan te tonen. Je geeft dus terecht aan dat dat, in deze context, inderdaad niet de bedoeling is.
Misschien had ik in mijn reactie jouw stukje beter niet mee geciteerd ;). Eerder gaf tempelier in dezelfde richting al een reactie, maar ik wou daar (eerder algemeen) bij opmerken dat het ook niet goed is in te prenten dat zoiets 'nooit mag, wegens cirkelredenering' want dat is het niet noodzakelijk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 april 2012 - 21:47

Okee. Ik ben mee :). Duidelijk stukje, waarvoor dank!
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures