Limiet

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 02-04-'12, 18:45

Puntje

Berichten: 316

Limiet

Hallo,

Ik heb een vraag over de volgende limiet:
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1\)
In mijn boek wordt er een formeel bewijs geleverd via de eenheidscirkel en de "squeeze theorem".

Ik beredeneer deze limiet echter iets informeler. In de natuurkunde benaderen we sin(x) rond x=0 vaak met sin(x)=x. Substitutie in de bovenstaande limiet levert direct het resultaat. Is dit toegestaan als "een bewijs" voor deze limiet?
Omhoog

Bericht 02-04-'12, 19:00

ZVdP

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Limiet

Je vervangt de functie door zijn Taylor reeks, en bij een limiet naar 0 is enkel de laagste macht van een 'polynoom' van belang. Dit is een van de standaardtechnieken om bepaalde limieten op te lossen.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Omhoog

Bericht 02-04-'12, 20:14

tempelier

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: Limiet

ZVdP schreef: ↑ma 02 apr 2012, 19:00
Je vervangt de functie door zijn Taylor reeks, en bij een limiet naar 0 is enkel de laagste macht van een 'polynoom' van belang. Dit is een van de standaardtechnieken om bepaalde limieten op te lossen.
Ik vraag me af of dat wel mag, want de Taylor ontwikkeling wordt bepaald met behulp van afgeleiden van sin(x)

Maar om aan de afgeleide van sin(x) te komen is nu net weer die gevraagde limiet nodig.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
Omhoog

Bericht 02-04-'12, 20:17

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Limiet

Puntje schreef: ↑ma 02 apr 2012, 18:45
Ik beredeneer deze limiet echter iets informeler. In de natuurkunde benaderen we sin(x) rond x=0 vaak met sin(x)=x. Substitutie in de bovenstaande limiet levert direct het resultaat. Is dit toegestaan als "een bewijs" voor deze limiet?
Neen. Want die benadering is nu net een gevolg van de limiet die je zoekt. Dus je gebruikt het te bewijzen in je bewijs. Zie je?

Overigens lijkt er mij toch niets mis met een formeel bewijs? Dat is net Wiskunde ;) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 02-04-'12, 20:21

ZVdP

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Limiet

Ah ok. Maar dat hangt natuurlijk ook af van hoe je sin(x) gedefinieerd hebt.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Omhoog

Bericht 02-04-'12, 20:43

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

tempelier schreef: ↑ma 02 apr 2012, 20:14
Ik vraag me af of dat wel mag, want de Taylor ontwikkeling wordt bepaald met behulp van afgeleiden van sin(x)

Maar om aan de afgeleide van sin(x) te komen is nu net weer die gevraagde limiet nodig.
Drieske schreef: ↑ma 02 apr 2012, 20:17
Neen. Want die benadering is nu net een gevolg van de limiet die je zoekt. Dus je gebruikt het te bewijzen in je bewijs. Zie je?
Als je de sinus op zo'n manier invoert dat je deze limiet niet nodig hebt voor de afgeleide, dan is er toch geen probleem?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 02-04-'12, 21:20

tempelier

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: Limiet

TD schreef: ↑ma 02 apr 2012, 20:43
Als je de sinus op zo'n manier invoert dat je deze limiet niet nodig hebt voor de afgeleide, dan is er toch geen probleem?
Nee maar dan moet die manier er wel zijn, ik zie die niet zo een twee drie.

Misschien zou het kunnen via de complexe e-machten, maar daar kleven ook wat problemen aan.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
Omhoog

Bericht 02-04-'12, 21:25

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

We gaan het hier natuurlijk niet 'opbouwen', maar je kan sinus en cosinus bv. definiëren via machtreeksen of zelfs direct als oplossingen van een differentiaalvergelijking met bepaalde beginvoorwaarden.

Mijn punt was dus vooral, zoals ZVdP ook opmerkte (zag ik later pas), dat het afhangt van de 'route' die je volgt of je hiermee al dan niet in een cirkelredenering terechtkomt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 02-04-'12, 21:38

tempelier

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: Limiet

Dan zal toch moeten worden aangetoond dat de nieuwe definitie consistent is met de oude, anders heeft men het over een andere functie.

Dat lijkt me niet zo gemakkelijk eerlijk gezegd.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
Omhoog

Bericht 02-04-'12, 21:48

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

Uiteraard doe je dat hier niet op 1, 2, 3 (hoewel ik het uiteraard op andere, maar equivalente definities doel); maar dat is ook niet de vraag. We hebben de sinus op de manier die jij 'in gedachte hebt' hier toch ook niet formeel ingevoerd? Dat alleen is ook al niet evident... ;)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 02-04-'12, 22:22

tempelier

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: Limiet

Dat dacht ik wel, via de eenheids cirkel en de coördiaten daarop geven de sinus en cosinus.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
Omhoog

Bericht 02-04-'12, 22:32

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

Het ligt er maar aan wat we verstaan onder 'formeel invoeren', blijkbaar. Maar dit gaat off topic. On topic was de opmerking dat een mogelijke cirkelredenering niet noodzakelijk aanwezig is. Equivalenties van verschillende definities aantonen is mogelijk, maar hier niet aan de orde. Als het je interesseert kan je natuurlijk wel eens in de literatuur gaan neuzen: er zijn boeken die de goniometrische functies formeel invoeren via bv. machtreeksen of differentiaalvergelijkingen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 02-04-'12, 22:37

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Limiet

TD schreef: ↑ma 02 apr 2012, 20:43
Als je de sinus op zo'n manier invoert dat je deze limiet niet nodig hebt voor de afgeleide, dan is er toch geen probleem?
Ik weet niet zeker of ik het juist zie. Maar mijn reactie was niet op tempelier hè. Maar op puntje's post. En dan in het bijzonder op zijn 'losse' methode.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 02-04-'12, 22:43

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

Maar je kan zijn 'losse methode' wel formaliseren, door stukjes Taylorreeksen te gebruiken in het berekenen van limieten. Het is dus niet per se zo dat je met deze limiet een lineaire benadering van sin(x) rond 0 bewijst en daardoor niet kan gebruiken; als je die informatie over de sinus al op een andere manier kan te weten komen.

Maar om het voor Puntje niet verwarrender te maken dan nodig: wellicht is dat niet wat er in zijn/haar cursus gebeurt want dan zouden ze die moeite niet doen om die limiet op deze manier aan te tonen. Je geeft dus terecht aan dat dat, in deze context, inderdaad niet de bedoeling is.

Misschien had ik in mijn reactie jouw stukje beter niet mee geciteerd ;) . Eerder gaf tempelier in dezelfde richting al een reactie, maar ik wou daar (eerder algemeen) bij opmerken dat het ook niet goed is in te prenten dat zoiets 'nooit mag, wegens cirkelredenering' want dat is het niet noodzakelijk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 02-04-'12, 22:47

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Limiet

Okee. Ik ben mee :) . Duidelijk stukje, waarvoor dank!
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Analyse en Calculus”