[wiskunde] Vraagjes over Euler-benadering van een differentiaalvergelijking

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 03-04-'12, 17:02

Uomo Universale

Berichten: 411

Vraagjes over Euler-benadering van een differentiaalvergelijking

In mijn cursus staan enkele vragen in verband met de Euler-benadering van een differentiaalvergelijking. Hierbij werd gewerkt met Matlab.

Ik heb zowel de exacte oplossing in het punt (t0, y0) bepaalt als de Euler-benadering in dit punt. Hierna moest ik t1 en y1 bepalen aan de hand van mijn Euler-benadering. Hiervoor kwam ik het volgende uit:

t1 = 0.3142

y1 = -3.8429 (de getallen op zich doen er niet toe)

Het volgende wordt gevraagd:
  • Nadat je de unieke exacte oplossing bij beginvoorwaarde y(t1) = y1 hebt bepaalt merk je dat (na voldoende inzoomen) deze exacte oplossing door dit punt net niet aan de Euler-benadering (uit (t0, y0)) raakt. Kan je dit ongewenste effect verklaren?
Mijn antwoord: dit komt misschien omdat Matlab heeft afgerond op 4 cijfers na de komma wanneer ik t1 en y1 opvroeg. Hierdoor zal de exacte oplossing verschillen van de Euler-benadering, ondanks dat de beginwaarden van de exacte op de Euler-benadering zijn gebasseerd.
  • De eerste Eulerbenaderingen voor n=5, n=10, n=25 en n=50 (n is hierbij het aantal stappen waarin ik mijn differentiaalvergelijking ga bepalen) liggen op een rechte. Verklaar waarom dit zo is.
Mijn antwoord: dit is een trivialiteit. Ze liggen allen op dezelfde rechte omdat het je eerste Eulerbenadering blijft, onafhankelijk van je aantal stappen of stapgrootte. Als je de stapgrootte groter of kleiner maakt heeft dit geen invloed op je eerste Eulerbenadering, aangezien de raaklijn aan je kromme in je beginpunt niet verandert.
  • Op het begintijdstip t = t0 geldt dat y(t0) = y0 zodat we weten dat (t0, y0) een punt is van y(t).
  1. ​Geldt dit voor alle (tk, yk)?​ Mijn antwoord: nee, bij t0 en y0 is dit zo omdat dit het beginpunt is. Maar na een bepaalde tijd zal y(tk) niet meer gelijk zijn aan yk omdat je benaderingen rechten zijn, terwijl je functie een kromme kan zijn.
  2. Is yk+1 dan nog een goed benadering van y(tk+1)? Wat kan er fout lopen? Mijn antwoord: Meestal is het wel nog een goede benadering, zolang de stapgrootte klein genoeg gekozen wordt of de kromming niet te groot is.
  3. Bij welk soort krommen treedt dit probleem nooit op? Mijn antwoord: bij rechten.
Omhoog

Bericht 03-04-'12, 17:20

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Vraagjes over Euler-benadering van een differentiaalvergelijking

Bij dit soort vragen is het prettig als je aangeeft over welke functies je het hebt...
Mijn antwoord: dit komt misschien omdat Matlab heeft afgerond op 4 cijfers na de komma wanneer ik t1 en y1 opvroeg.
Type dan maar eens "format long" in. Er zal nog steeds een verschil zijn. Dit heeft niks te maken met afronding. Je geeft volgens mij het antwoord al bij je antwoord op vraag 1 en 3 onderaan.
Omhoog

Bericht 03-04-'12, 18:09

Uomo Universale

Berichten: 411

Re: Vraagjes over Euler-benadering van een differentiaalvergelijking

EvilBro schreef: ↑di 03 apr 2012, 17:20
Bij dit soort vragen is het prettig als je aangeeft over welke functies je het hebt...
Dat had ik niet gedaan omdat het vragen zijn die algemeen te beantwoorden vallen (denk ik..). Meer informatie dan dat het hier over eerste-orde differentiaalvergelijkingen gaat heb je volgens mij niet nodig..

Om het wat prettiger te maken; deze vragen stonden bij de functie
\(y' = -\frac{3}{2}cost - y \frac{1}{2}cost\)
over het t-interval [0, pi] met beginwaarden y(0) = -4.
EvilBro schreef: ↑di 03 apr 2012, 17:20
Type dan maar eens "format long" in. Er zal nog steeds een verschil zijn. Dit heeft niks te maken met afronding. Je geeft volgens mij het antwoord al bij je antwoord op vraag 1 en 3 onderaan.
Hmm..ik betwijfel heel erg of dit de reden is. Via mijn Euler-benadering uit (t0, y0) heb ik t1 en y1 bepaalt. Daarna heb ik de exacte oplossing van mijn differentiaalvergelijking bepaalt met als beginvoorwaarden y(t1) = y1 en gemerkt dat de exacte oplossing uit (t1, y1) niet hetzelfde is als de waarden die mijn Euler-benadering mij gaven. Dit is natuurlijk heel paradoxaal.

Volgens mij valt dit niet te verklaren met wat ik bij vraag 1 en 3 zei, want die hadden te maken met het feit dat je benadering afwijkt van je exacte waarde vanaf dat je voorbij je startpunt bent, en dat is natuurlijk heel logisch aangezien het een benadering is. Hier echter bepaal je je exacte aan de hand van waarden die je vindt uit je benadering, en merkt dan dat deze niet samen vallen na het plotten.

Ik merk dat het me niet bijster goed lukt om mij op een deftige manier uit te drukken, maar ik hoop dat je toch m'n redenering begrijpt?
Omhoog

Bericht 03-04-'12, 20:36

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Vraagjes over Euler-benadering van een differentiaalvergelijking

Daarna heb ik de exacte oplossing van mijn differentiaalvergelijking bepaalt met als beginvoorwaarden y(t1) = y1 en gemerkt dat de exacte oplossing uit (t1, y1) niet hetzelfde is als de waarden die mijn Euler-benadering mij gaven.
Dat kan natuurlijk niet. Als je (t1, y1) gebruikt als beginvoorwaarden dan moet je exacte oplossing door dat punt gaan,,,
Omhoog

Bericht 04-04-'12, 12:38

Uomo Universale

Berichten: 411

Re: Vraagjes over Euler-benadering van een differentiaalvergelijking

EvilBro schreef: ↑di 03 apr 2012, 20:36
Dat kan natuurlijk niet. Als je (t1, y1) gebruikt als beginvoorwaarden dan moet je exacte oplossing door dat punt gaan,,,
Dat is inderdaad waar. In de vraag in mijn boek staat dan ook: Als je voldoende inzoomt op het punt (t1, y1), dan zie je dat, tegen alle verwachtingen, de exacte oplossing door dit punt net niet aan de Euler-benadering raakt.

Daarom dat ik denk dat het antwoord die ik gaf het meest waarschijnlijke is. Bij mij staat Matlab ingesteld op 'format', wat dus gewoon de default-versie is. Hierdoor wordt afgerond bij een groot aantal cijfers na de komma. Als ik hetzelfde zou doen via 'format long', dan zal dit verschil waarschijnlijk een heel stuk kleiner zijn (alhoewel het er vermoedelijk nog altijd zou zijn). Begrijp je mijn redenering? En zou je deze als een correct antwoord op de vraag beschouwen?



Wat denkt u trouwens over mijn andere antwoorden? Zijn deze correct, of denkt u ook dat ik daar wat fouten maak?

Bedankt alvast voor de hulp!
Omhoog

Bericht 04-04-'12, 13:47

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Vraagjes over Euler-benadering van een differentiaalvergelijking

De andere antwoorden lijken mij juist.
Omhoog

Bericht 04-04-'12, 15:19

Uomo Universale

Berichten: 411

Re: Vraagjes over Euler-benadering van een differentiaalvergelijking

Oké, bedankt voor de hulp EvilBro!
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”