[wiskunde] Bewijs Lim (Xn)n ∈ N = Lim (Xn+1)n ∈ N

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 04-04-'12, 09:55

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Bewijs Lim (Xn)n ∈ N = Lim (Xn+1)n ∈ N

Beschouw een rij (Xn)n ∈ N en definieer hiermee een nieuwe rij (Yn)n ∈ N door

Yn = Xn+1 voor alle n ∈ N. Dan heeft de rij (Xn)n ∈ N een limiet als en slechts als de rij (Yn)n ∈ N een limiet heeft. Bovendien zijn beide limieten dan gelijk.

Bewijs:

Indien beide rijen convergeren kunnen ze dit bv. naar een reëel getal doen:

Lim Xn = a

n -> oo

Lim Yn = b

n -> oo

Stel a,b ∈ R. En a > b. Hieruit volgt:

M = (a-b) / 2

En aangezien a > b is, is M > 0.

Wanneer we dus een willekeurige M > 0 kiezen, kunnen we een n0 vinden zodat

|Xn - a| < M; voor alle volgende indices n ≥ n0.

Wat equivalent is met:

Xn > a - M = (a + b) / 2 (1)

Wanneer de Lim Yn = b, kunnen we een willekeurige M > 0 kiezen, zo dat we een n-1 (*) kunnen vinden waarvoor |Yn - b| < M; voor alle volgende indices n ≥ n-1

Wat equivalent is met:

Yn < b + M = (a + b) / 2

Aangezien we vanaf 'n-1' (*) gewerkt hebben, mogen we 'Yn' dus vervangen door 'Xn':

Xn < b + M = (a + b) / 2 (2)

Uit (1) en (2) volgt nu dat Xn zowel strikt kleiner als strikt groter moet zijn dan

(a + b) / 2, wat natuurlijk strikt strijdig is.

Hierdoor is het bovenstaande bewezen.

Klopt dit bewijs ? vooral over mijn stap van "n-1" ben ik niet zeker.

Dank bij voorbaat! :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 04-04-'12, 10:29

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Bewijs Lim (Xn)n ∈ N = Lim (Xn+1)n ∈ N

Ik kan het bewijs niet helemaal volgen. Verder heb ik het idee dat er iets mist (namelijk het gedeelte waarbij de rij niet convergeert).

Ik zou het anders aanpakken en wel gewoon met de definitie van de limiet.
\(\lim_{n\rightarrow \infty} y_n = a \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists M (n \geq M \rightarrow |y_n - a| < \epsilon)\)
\(\lim_{n\rightarrow \infty} y_n = a \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists M (n+1 \geq n \geq M \rightarrow |y_n - a| < \epsilon)\)
\(\lim_{n\rightarrow \infty} y_n = a \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists M (n+1 \geq M \rightarrow |y_n - a| < \epsilon)\)
\(\lim_{n\rightarrow \infty} y_n = a \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists M (n+1 \geq M \rightarrow |x_{n+1} - a| < \epsilon)\)
\(\lim_{n\rightarrow \infty} y_n = a \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists M (n' \geq M \rightarrow |x_{n'} - a| < \epsilon)\)
\(\lim_{n\rightarrow \infty} y_n = a \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists M (n' \geq M \rightarrow |x_{n'} - a| < \epsilon) \Leftrightarrow \lim_{n'\rightarrow \infty} x_{n'} = a\)
\(\lim_{n\rightarrow \infty} y_n = a \Leftrightarrow \lim_{n'\rightarrow \infty} x_{n'} = a\)
\(\lim_{n\rightarrow \infty} y_n = a \Leftrightarrow \lim_{n\rightarrow \infty} x_n = a\)
Omhoog

Bericht 04-04-'12, 10:35

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bewijs Lim (Xn)n ∈ N = Lim (Xn+1)n ∈ N

Ja Evilbro, ik stelde mij eergisteren, bij een gelijkaardig bewijs, dezelfde vraag over het divergeren; waarop TD het volgende antwoordde.
TD schreef: ↑ma 02 apr 2012, 19:48
Je moet niet 'tonen' dat ze convergeren, dat is in de stelling helemaal niet gegeven. Je moet tonen dat als de ene convergeert, dan ook de andere; én vice versa. Als convergeren equivalent is, dan volgt automatisch dat ze ook samen 'niet convergeren', dus divergeren.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 04-04-'12, 10:35

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijs Lim (Xn)n ∈ N = Lim (Xn+1)n ∈ N

Ik vind je bewijs ook moeilijk om volgen en zou ook eerder met de definitie werken. Wat me opvalt in je bewijzen is dat je vaak denkt dat het nodig is om uit contradictie ofzo te werken. Maar je kunt evengoed beginnen met: stel dat xn naar a convergeert, ik ga nu bewijzen dat yn dan ook naar a convergeert. En zo een paar gevallen onderscheiden.

Terzijde nog een paar opmerkingen op je bewijs:
Biesmansss schreef: ↑wo 04 apr 2012, 09:55
Wanneer we dus een willekeurige M > 0 kiezen, kunnen we een n0 vinden zodat

|Xn - a| < M; voor alle volgende indices n ≥ n0.
Op deze moment is M toch niet meer willekeurig? Je hebt M namelijk zeer specifiek gedefinieerd. Beter zeg je dan iets als: uit de definitie van limiet weten we dat voor elke M, en dus ook deze, er een n0 bestaat zodat...

Wanneer de Lim Yn = b, kunnen we een willekeurige M > 0 kiezen, zo dat we een n-1 (*) kunnen vinden waarvoor |Yn - b| < M; voor alle volgende indices n ≥ n-1
Ook een vrij rare constructie. Bedoel je een soort van tweede n0 (aangeduid met n1)? Zoja, noteer je dat ook weer beter anders. Nu staat er twee keer iets wat van n afhangt. Kan natuurlijk nooit kloppen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 04-04-'12, 10:40

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bewijs Lim (Xn)n ∈ N = Lim (Xn+1)n ∈ N

Drieske schreef: ↑wo 04 apr 2012, 10:35
Terzijde nog een paar opmerkingen op je bewijs:

Op deze moment is M toch niet meer willekeurig? Je hebt M namelijk zeer specifiek gedefinieerd. Beter zeg je dan iets als: uit de definitie van limiet weten we dat voor elke M, en dus ook deze, er een n0 bestaat zodat...
Hier ben ik het helemaal mee eens.
Drieske schreef: ↑wo 04 apr 2012, 10:35
Ook een vrij rare constructie. Bedoel je een soort van tweede n0 (aangeduid met n1)? Zoja, noteer je dat ook weer beter anders. Nu staat er twee keer iets wat van n afhangt. Kan natuurlijk nooit kloppen.
Ja, dat is niet helemaal goed overgebracht; mijn intentie was eigenlijk om te zorgen dat we bij 'Yn' van 1 plaats terug begonnen, zo dat de termen weer overeen kwamen met deze van "Xn'.

Begrijpt u wat ik wil zeggen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 04-04-'12, 10:46

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijs Lim (Xn)n ∈ N = Lim (Xn+1)n ∈ N

Biesmansss schreef: ↑wo 04 apr 2012, 10:40
Ja, dat is niet helemaal goed overgebracht; mijn intentie was eigenlijk om te zorgen dat we bij 'Yn' van 1 plaats terug begonnen, zo dat de termen weer overeen kwamen met deze van "Xn'.

Begrijpt u wat ik wil zeggen ?
Ik dacht inderdaad wel dat je zoiets wilde zeggen. Maar denk je, na het bewijs van Evilbro te hebben gezien, niet dat je dit eenvoudiger kunt uitdrukken?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 04-04-'12, 10:51

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bewijs Lim (Xn)n ∈ N = Lim (Xn+1)n ∈ N

Biesmansss schreef: ↑wo 04 apr 2012, 09:55
uit de definitie van limiet weten we dat voor elke M, en dus ook deze, er een n0 bestaat zodat |Xn - a| < M; voor alle volgende indices n ≥ n0.

Wat equivalent is met:

Xn > a - M = (a + b) / 2

Aangezien we n + 1 ≥ n volgt hieruit ook dat

Xn+1 > Xn > a - M = (a + b) / 2

Yn > a - M = (a + b) / 2 (1)

uit de definitie van limiet weten we dat voor elke M, en dus ook deze, er een n' bestaat zodat |Yn - b| < M; voor alle volgende indices n ≥ n'

Wat equivalent is met:

Yn < b + M = (a + b) / 2

Uit (1) en (2) volgt nu dat Xn zowel strikt kleiner als strikt groter moet zijn dan

(a + b) / 2, wat natuurlijk strikt strijdig is.

Hierdoor is het bovenstaande bewezen.
Ongeveer zo ? :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 04-04-'12, 11:03

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijs Lim (Xn)n ∈ N = Lim (Xn+1)n ∈ N

Dat is al beter, maar ik hoop dat je zelf ook wel aanvoelt/ziet dat je bewijs nog niet echt denderend in elkaar zit. Kun je zelf eens zoeken waar het nog niet (echt) klopt en dat proberen te verbeteren?

En niet om je bewijs af te kraken ofzo, maar ik wil toch nog even opmerken dat de gevolgde weg vrij omslachtig is. Voel je dit (nu) zelf ook aan?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 04-04-'12, 11:29

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bewijs Lim (Xn)n ∈ N = Lim (Xn+1)n ∈ N

Euhm, voor de rest zou ik zeggen dat het wel correct in elkaar zit; waar zit er dan nog iets mis ?

Maar het is inderdaad vrij omslachtig. De directe manier is veel eenvoudiger. :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 04-04-'12, 11:46

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijs Lim (Xn)n ∈ N = Lim (Xn+1)n ∈ N

Fout is misschien een wat groot woord. Naar mijn gevoel onvolledig. Stel dat het een toets/examen was. Zou je dan dat bewijs zou neerschrijven?

Paar zaken om over te denken: (1) geldt voor n'en vanaf n0, terwijl (2) voor...

Jij gaat in het begin er al van uit dat zowel Xn als Yn convergeren. Moet dit per se? Dat moet je conclusie zijn. Merk op dat mijn opmerking niet strijdig is met TD zijn. Waarom niet?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 04-04-'12, 11:54

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bewijs Lim (Xn)n ∈ N = Lim (Xn+1)n ∈ N

Drieske schreef: ↑wo 04 apr 2012, 11:46
Fout is misschien een wat groot woord. Naar mijn gevoel onvolledig. Stel dat het een toets/examen was. Zou je dan dat bewijs zou neerschrijven?

Paar zaken om over te denken: (1) geldt voor n'en vanaf n0, terwijl (2) voor...
Ja ik snap wat je hier bedoelt, maar dit is eenvoudig op te lossen (niettemin was het een correcte opmerking):

Kies een willekeurige m ∈ R, die zowel groter is als n0 en als n'. Dan volgt uit (1) en (2) dat Xm zowel strikt kleiner als strikt groter moet zijn dan (a + b) / 2, wat natuurlijk strikt strijdig is.

Hierdoor is het bovenstaande bewezen.
Drieske schreef: ↑wo 04 apr 2012, 11:46
Jij gaat in het begin er al van uit dat zowel Xn als Yn convergeren. Moet dit per se? Dat moet je conclusie zijn. Merk op dat mijn opmerking niet strijdig is met TD zijn. Waarom niet?
Het is misschien beter om aan te tonen dat als (Yn)n ∈ N naar a ∈ R (of +oo, -oo) convergeert, (Xn)n ∈ N dit ook zal doen.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 04-04-'12, 11:58

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijs Lim (Xn)n ∈ N = Lim (Xn+1)n ∈ N

Biesmansss schreef: ↑wo 04 apr 2012, 11:54
Ja ik snap wat je hier bedoelt, maar dit is eenvoudig op te lossen:
Het was inderdaad eenvoudig op te lossen. Maar het is wel belangrijk om aan zo'n details te denken. Andere optie, maar wel equivalent met de jouwe: neem N = max{n0, n'}, dan geldt voor alle n >= N ...

Het is misschien beter om aan te tonen dat als (Yn)n ∈ N naar a ∈ R (of +oo, -oo) convergeert, (Xn)n ∈ N dit ook zal doen.
Dat is alleszins de kortste manier. Wat jij nu hebt, is het volgende: als ze convergeren, convergeren ze naar dezelfde limiet. Je kunt nu ook nog andere gevallen onderscheiden die je ook een tegenspraak opleveren. Bijvoorbeeld: stel dat Xn convergeert en Yn divergeert... En werk naar een contradictie toe.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 04-04-'12, 12:03

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bewijs Lim (Xn)n ∈ N = Lim (Xn+1)n ∈ N

Ja dus eigenlijk om deze propositie te bewijzen krijg je 4 bewijsjes:

1) Waar de Lim Yn = a ∈ R

2) Waar de Lim Yn = + oo

3) Waar de Lim Yn = - oo

4) Waar Yn divergeert

En hiervoor moeten we telkens aantonen dat Xn volgt. Correct ? :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 04-04-'12, 12:08

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijs Lim (Xn)n ∈ N = Lim (Xn+1)n ∈ N

Theoretisch gezien zijn dat inderdaad je 4 gevallen. Maar je kunt je er korter vanaf maken: het bewijs van 3) zal (vrij) analoog verlopen aan 2). Bovendien is het ook een analoog bewijs als je de rol van Xn en Yn wisselt. Dat is duidelijk? Dit maakt het bewijs van 4) ook overbodig. Maar om helemaal correct te zijn, zijn dat je 4 delen ja. Dat, of de eerste 3 + de eerste 3 met rol Xn en Yn gewisseld. Dat laatste komt dan neer op wat TD eerder al zei.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 04-04-'12, 12:11

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bewijs Lim (Xn)n ∈ N = Lim (Xn+1)n ∈ N

Ja ik snap het. Het is dus voldoende om de eerste 3 gevallen te bewijzen (vice versa voor Xn), waaruit het divergeren een equivalentie blijkt.

Bedankt voor de hulp Evilbro en Dries!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”