Hallo,
ik ben met differentiaalvergelijkingen bezig. Staat allemaal heel duidelijk uitgelegd in mn boek enzo, maar bij de opgaven staat dan opeens de vergelijking:
y''-3y'+2y = 1/(1+e^-x)
Ik weet niet hoe ik dit moet oplossen omdat er alleen voorbeelden zijn waarbij de rechterkant van de vergelijking e^2x is, niet opeens in een breuk. Dus nu ben ik helemaal in de war.
Ik heb geprobeerd om als y(x)= 1/(1+Ae^-x) te nemen, maar dan krijg ik zo'n lange formule dat ik het overzicht kwijt ben.
Kan iemand mij vertellen welke y(x) ik moet kiezen, en wat daar de logica achter is. Dan probeer ik het vanaf daar verder.
Laatste berichten
-
16:10
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 1
-
14:55
wig
-
14:55
Herleiden afmetingen vanaf een foto 20
-
13:57
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
13:16
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
13:12
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
12:01
Gravity and gravitation 1
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
09:54
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 6
-
23:07
Rood laserlicht 2
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Differentiaalvergelijking
-
- Berichten: 316
Re: Differentiaalvergelijking
De methode die jij gebruikt voor het vinden van een particuliere oplossing is eigenlijk "gokken". Bij veelvoorkomende vormen is dit handig. Als je voor jou onbekende vormen tegenkomt, kun je het beste een methode leren waarbij gokken niet aan de orde is. Een veelgebruikte methode is "variatie van de parameters", ken je die?
-
- Berichten: 112
Re: Differentiaalvergelijking
Ja ik ken hem wel maar ik snap er eerlijk gezegd helemaal niks van...
-
- Berichten: 316
Re: Differentiaalvergelijking
Eerst zoek je de oplossing van de corresponderende homogene vergelijking \(y''-3y'+2y=0\). Die oplossing is in dit geval van de vorm \(y_h=Ae^{r_1t}+Be^{r_2t}\). Bepaal \(r_1\) en \(r_2\).
De truc bij variatie van parameters is dat we nu de constanten A en B in de homogene oplossing gaan vervangen voor functies \(u_1(t)\) en \(u_2(t)\) om de particuliere oplossing \(y_p\) te vinden. Dus \(y_p=u_1(t)e^{r_1t}+u_2(t)e^{r_2t}\). Nu kun je uit je hoofd leren of beredeneren dat de volgende twee vergelijkingen moeten gelden:
Wil je een algemenere theorie, laat het dan even weten.
Dan snap je deze methode misschien beter.
De truc bij variatie van parameters is dat we nu de constanten A en B in de homogene oplossing gaan vervangen voor functies \(u_1(t)\) en \(u_2(t)\) om de particuliere oplossing \(y_p\) te vinden. Dus \(y_p=u_1(t)e^{r_1t}+u_2(t)e^{r_2t}\). Nu kun je uit je hoofd leren of beredeneren dat de volgende twee vergelijkingen moeten gelden:
\(u'_1(t)e^{r_1t}+u'_2(t)e^{r_2t}=0\)
\(u'_1(t)e^{r_1t}r_1+u'_2(t)e^{r_2t}r_2=\frac{1}{1+e^{-t}}\)
Hieruit kun je een \(u'_1(t)\) en een \(u'_2(t)\) oplossen. Integreren van deze functies levert een \(u_1(t)\) en een \(u_2(t)\). Dit weer invullen in \(y_p\) levert je de particuliere oplossing.Wil je een algemenere theorie, laat het dan even weten.
Dan snap je deze methode misschien beter.-
- Berichten: 316
Re: Differentiaalvergelijking
Bij deze toch even wat algemene theorie, dat is een stuk duidelijker.
We hebben dus een differentiaalvergelijking van de vorm \(a_2(x)\frac{d^2y}{dx^2}+a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=f(x)\). We vinden een homogene oplossing \(y_h=Ay_1(x)+By_2(x)\). In plaats van de constanten A en B nemen we nu de functies \(u_1(x)\) en \(u_2(x)\) om een particuliere oplossing \(y_p\) te vinden: \(y_p=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x)\). De volgende vergelijkingen moeten dan gelden, ik laat de afleiding ervan even achterwege:
We hebben dus een differentiaalvergelijking van de vorm \(a_2(x)\frac{d^2y}{dx^2}+a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=f(x)\). We vinden een homogene oplossing \(y_h=Ay_1(x)+By_2(x)\). In plaats van de constanten A en B nemen we nu de functies \(u_1(x)\) en \(u_2(x)\) om een particuliere oplossing \(y_p\) te vinden: \(y_p=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x)\). De volgende vergelijkingen moeten dan gelden, ik laat de afleiding ervan even achterwege:
\(u'_1(x)y_1(x)+u'_2(x)y_2(x)=0\)
\(u'_1(x)y'_1(x)+u'_2(x)y'_2(x)=\frac{f(x)}{a_2(x)}\)
Hieruit \(u'_1(x)\) en \(u'_2(x)\) oplossen en integeren:\(u_1(x)=\int u'_1(x)dx\)
\(u_2(x)=\int u'_2(x)dx\)
De algemene oplossing van de differentiaal vergelijking luidt nu:\(y(x)=y_h(x) + y_p(x)=Ay_1(x)+By_2(x)+u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x)\)
