Springen naar inhoud

Verschil tussen twee proposities



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 april 2012 - 17:23

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Propositie 1:

Beschouw 2 rijen (Xn) n ∈ N en (Yn) n ∈ N. Veronderstel dat beide rijen een limiet hebben en dat Xn ≤ Yn, voor alle n ∈ N. Dan zal:

Lim Xn ≤ Lim Yn
n -> oo n -> oo

Deze propositie heb ik bewezen door te bewijzen dat als beide rijen een limiet hadde deze van de rij (Xn) n ∈ N nooit groter kan zijn dan die van de rij (Yn) n ∈ N.



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Propositie 2:


Beschouw 2 rijen (Xn) n ∈ N en (Yn) n ∈ N. Veronderstel dat Xn ≤ Yn, voor alle n ∈ N.

Dan geldt:

1) Als Lim Xn = +oo dan bestaat ook de Lim van (Yn) n ∈ N en is die ook '+oo'.
n -> oo

2) Als Lim Yn = -oo dan bestaat ook de Lim van (Xn) n ∈ N en is die ook '-oo'.
n -> oo

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Dan staat in de cursus:

"Propositie 2 twee lijkt een onmiddellijk gevolg te zijn van propositie 1. Maar dat is eigenlijk niet zo. In de formulering van propositie 1 veronderstelden we dat beide rijen een limiet hadden. Bij propositie 1 moeten we slechts het bestaan van één van beide limieten aannemen. Het bestaan van de andere limiet is dan een gevolg."

Mijn vraag is nu, hoe bewijs ik dit ? als ik slechts het bestaan van 1 limiet moet aannemen ? toch anders als de bewijzen van propositie 1 ?

OT: Het was misschien overbodig om beide proposities er hier nu bij te betrekken, maar dit maakt het probleem een stuk overzichtelijker in mijn ogen.

Dank bij voorbaat!

Veranderd door Biesmansss, 04 april 2012 - 17:24

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 april 2012 - 17:30

Ik snap je vraag niet goed... Bij propositie 2 (pak het eerste puntje nu even) heb je gegeven wat de limiet van de rij Xn is. Het is jouw taak om te tonen dat 1) de rij Yn niet kan divergeren en 2) dat haar limiet ook +oneindig is. Het is bij 1) dat je moeite hebt?

Overigens, als je praat over "een limiet hebben", behoort +oneindig daar dan ook toe? Ik denk het wel, maar toch even checken.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 april 2012 - 17:41

Ik snap je vraag niet goed... Bij propositie 2 (pak het eerste puntje nu even) heb je gegeven wat de limiet van de rij Xn is. Het is jouw taak om te tonen dat 1) de rij Yn niet kan divergeren en 2) dat haar limiet ook +oneindig is. Het is bij 1) dat je moeite hebt?

Overigens, als je praat over "een limiet hebben", behoort +oneindig daar dan ook toe? Ik denk het wel, maar toch even checken.


Hoe moet ik er aan beginnen om aan te tonen dat de rij Yn niet kan divergeren ?

Ja '+oo' behoort ook tot een limiet hebben. In de cursus stond bij propositie 1 dat we moesten bewijzen dat onder andere de combinatie Lim Xn = +oo, Lim Yn = b ∈ R niet mogelijk is.
Dus aangezien letterlijk in deze propositie staat "Veronderstel dat beide rijen een limiet hebben.", veronderstel ik dat '+oo' ook tot een limiet hebben behoort.

Veranderd door Biesmansss, 04 april 2012 - 17:43

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 april 2012 - 17:44

Inderdaad. Bij Prop 1 zou ik allereerst triviale gevallen uitfilteren en daarna verdergaan.

Enja, divergentie... Probeer dat eerst eens onder woorden te brengen wat dat betekent, in termen van epsilon-n0 dan welteverstaan. En zet er dan ineens bij wat het betekent dat de limiet van Xn +oneindig is :).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 april 2012 - 17:55

Propositie 1 was ook geen enkel probleem om te bewijzen, die staat er gewoon bij om mijn probleem met propositie 2 wat duidelijker te maken. :D

Hoe breng ik divergentie onder woorden in termen van epsilon en n0 ?

Indien de Lim Xn = +oo weten we aan de hand van de definitie van een limiet naar oneindig dat wanneer we een willekeurige M ∈ R kiezen, we een n1 kunnen vinden zodat Xn > M voor alle indices n ≥ n1
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 april 2012 - 18:04

Ik ga divergentie wat losjes formuleren. Aan jou om het correcter te verwoorden. We zeggen dat rij Yn divergeert als er geen enkele waarde Y bestaat waar de rij Yn naartoe evolueert. Deze Y kan eindig of oneindig zijn.

Maar, eventjes vrij informeel. Je weet dat Xn <= Yn voor alle n. Je weet ook dat M < Xn voor alle n >= n1. Dus?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 april 2012 - 19:20

Lim Yn -> divergent
n -> oo

Ik dacht dus eerst te werken met:

Indien Yn divergeert kunnen we wanneer we een willekeurige Y > 0 kiezen, geen n0 vinden waarvoor..

Maar, eventjes vrij informeel. Je weet dat Xn <= Yn voor alle n. Je weet ook dat M < Xn voor alle n >= n1. Dus?


Dus is Yn > M, voor alle n > n1. Hieruit volgt dat de Lim Yn = +oo

Veranderd door Biesmansss, 04 april 2012 - 19:21

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 april 2012 - 20:04

Dus is Yn > M, voor alle n > n1. Hieruit volgt dat de Lim Yn = +oo

Denk je dat er nu nog iets essentieels ontbreekt in "het bewijs"? Maw: heb je divergentie nodig?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 april 2012 - 09:06

Denk je dat er nu nog iets essentieels ontbreekt in "het bewijs"? Maw: heb je divergentie nodig?


Nee, ik heb divergentie hier helemaal niet meer nodig. Het bewijs is compleet. :D
Maar mijn interesse is wel gewekt over hoe ik divergentie in symbolen zou kunnen bewijzen.
Dus hoe doen we dit ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 april 2012 - 09:32

In een concrete situatie verschilt dat natuurlijk. Het hangt er ook vanaf wat je exact wilt bewijzen. Wil je bewijzen dat iets divergeert, is het vaak het makkelijkst om te veronderstellen dat het convergeert en dan tot tegenspraak te komen. Een andere manier is met wat gevalsonderscheid uitschrijven wat ik hierboven in woorden zei. Ik laat dat onderscheid even weg voor het gemak. Een rij Yn divergeert (convergeert niet naar, zeg, L met L willekeurig) als er een M>0 bestaat zodat voor eender welke n0 je kiest er een n>=n0 bestaat zodat |Yn - L| > M.

Maar nogmaals: de exacte aanpak verschilt van situatie tot situatie.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 april 2012 - 14:11

In een concrete situatie verschilt dat natuurlijk. Het hangt er ook vanaf wat je exact wilt bewijzen. Wil je bewijzen dat iets divergeert, is het vaak het makkelijkst om te veronderstellen dat het convergeert en dan tot tegenspraak te komen. Een andere manier is met wat gevalsonderscheid uitschrijven wat ik hierboven in woorden zei. Ik laat dat onderscheid even weg voor het gemak. Een rij Yn divergeert (convergeert niet naar, zeg, L met L willekeurig) als er een M>0 bestaat zodat voor eender welke n0 je kiest er een n>=n0 bestaat zodat |Yn - L| > M.

Maar nogmaals: de exacte aanpak verschilt van situatie tot situatie.


Ja zo dacht ik der ongeveer ook over, maar ik vond het raar om gewoon een willekeurige L te mogen kiezen.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 april 2012 - 19:22

Dat is inderdaad wat vreemd. Maar dat is gewoon een verwoording van: er bestaat geen L waar je naartoe convergeert.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures