[wiskunde] Ondergroep

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 05-04-'12, 17:13

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Ondergroep

Er moet gelden dat
\(\overline{x_2 + y_2} = \overline{x_2y_3 + x_1y_2}\)


Rechts:
\(\overline{x_2y_3 + x_1y_2}\)
=
\(\overline{x_2}\cdot\overline{y_3} + \overline{x_1}\cdot\overline{y_2}\)
Dit mag ik toch zo ontbinden?

Nu weet ik dus dat
\(\overline{y_3} = \overline{x_1}\)
:
\(\overline{x_1}\cdot(\overline{x_2 + y_2}) = \overline{x_2 + y_2}\)
?
Omhoog

Bericht 05-04-'12, 20:22

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Ondergroep

Fruitschaal schreef: ↑do 05 apr 2012, 17:13
Dit mag ik toch zo ontbinden?
Dat mag :) .

Nu weet ik dus dat
\(\overline{y_3} = \overline{x_1}\)
:
\(\overline{x_1}\cdot(\overline{x_2 + y_2}) = \overline{x_2 + y_2}\)
?
Je weet meer. Je weet ook nog dat
\(\overline{y_3} = \overline{x_1} = \overline{1}\)
. Waarom?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 05-04-'12, 20:47

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Ondergroep

Drieske schreef: ↑do 05 apr 2012, 20:22
Dat mag :) .

Je weet meer. Je weet ook nog dat
\(\overline{y_3} = \overline{x_1} = \overline{1}\)
. Waarom?
Omdat x1 en y3 -1 of 1 zijn en hun restklassen zijn hetzelfde.

Dus ik mag zeggen dat
\(\overline{x_1} = \overline{1}\)
en dan geldt het dat
\(\overline{1}\cdot\overline{a} = \overline{a}\)
?
Omhoog

Bericht 05-04-'12, 21:29

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Ondergroep

Begrijp je de stappen die je zet of zet je ze omdat ze je het gevraagde geven?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 05-04-'12, 21:30

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Ondergroep

Drieske schreef: ↑do 05 apr 2012, 21:29
Begrijp je de stappen die je zet of zet je ze omdat ze je het gevraagde geven?
Meer een combinatie van beide. Ik zet ze omdat ze naar het gevraagde leiden, maar ik begrijp het daarna wel.
Omhoog

Bericht 05-04-'12, 21:41

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Ondergroep

Ben je dan niet (vlot) bekend met werken in restklassenringen? Want je gebruikt voorlopig eerder basiseigenschappen daaruit dan iets anders hoor. Dat het moeilijk was om te zien wat f(x)f(y) was, snap ik. Op zich is er geen erg uiteraard, alleen zou het waarschijnlijk vlotter gaan om dingen te vinden als je de eigenschappen beheerste.

Maar zie je nu dat het inderdaad een homomorfisme is?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 05-04-'12, 21:55

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Ondergroep

Drieske schreef: ↑do 05 apr 2012, 21:41
Ben je dan niet (vlot) bekend met werken in restklassenringen? Want je gebruikt voorlopig eerder basiseigenschappen daaruit dan iets anders hoor. Dat het moeilijk was om te zien wat f(x)f(y) was, snap ik. Op zich is er geen erg uiteraard, alleen zou het waarschijnlijk vlotter gaan om dingen te vinden als je de eigenschappen beheerste.

Maar zie je nu dat het inderdaad een homomorfisme is?
Ik heb er nog niet zoveel mee gewerkt, dus ben er inderdaad nog niet zo vlot mee.

Ik zie nu inderdaad dat het een homomorfisme is, nu moet ik nog aantonen dat het surjectief is. Dan moet elk element in het 'bereik' door een uniek element in het 'domein' worden voortgebracht, toch?
Omhoog

Bericht 05-04-'12, 22:57

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Ondergroep

Uniek moet niet (dat zou injectiviteit betekenen). Maar het betekent wel dat elk element in het bereik door een element in het domein wordt voortgebracht.

Nu is je bereik eigenlijk wel van eerder beperkte aard. Kun je aan de slag of niet echt?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 06-04-'12, 13:33

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Ondergroep

Het bereik zijn alle elementen
\((x_1,x_3,\overline{x_2})\)
waarbij
\(x_1 = \pm1, x_3 = \pm1\)
en
\(x_2\)
valt terug te voeren op 0 of 1, dus inderdaad vrij beperkt.

Het domein bestaat uit alle elementen van de vorm
\(\{\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix}\)
met
\(x = \pm1, y \in \mathbb{Z}, z = \pm1 \}\)
Dus nu moet ik aantonen dat elke
\((x_1,x_3,\overline{x_2})\)
voort te brengen valt uit
\(\{\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix}\}\)
.

Ik zou nu zeggen: 'Dat is toch logisch?', maar ik moet het natuurlijk bewijzen en weet niet echt hoe ik moet beginnen.
Omhoog

Bericht 06-04-'12, 14:37

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Ondergroep

Het is inderdaad zeer logisch. Een bewijs is vaak niet meer dan de logica formeel neerschrijven. Dus: waarom is het logisch?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 06-04-'12, 14:42

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Ondergroep

Nou, sowieso geldt al dat
\(x_1 = x\)
en
\(x_3 = z\)
. Daarnaast van
\(\overline{y}\)
altijd terug te brengen op
\(\overline{x_2}\)
, als
\(x_2 = 0\)
of
\(x_2 = 1\)
Omhoog

Bericht 06-04-'12, 14:47

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Ondergroep

Fruitschaal schreef: ↑vr 06 apr 2012, 14:42
Daarnaast van
\(\overline{y}\)
altijd terug te brengen op
\(\overline{x_2}\)
, als
\(x_2 = 0\)
of
\(x_2 = 1\)
Is dat essentieel? En je diagonaal is inderdaad meteen in orde. Het enige 'tricky' punt is het element rechtsboven vinden. Waarom 'tricky'?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 06-04-'12, 18:05

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Ondergroep

Omdat die de waarde van elk geheel getal kan aannemen.
Omhoog

Bericht 06-04-'12, 18:07

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Ondergroep

Dat is toch niet het tricky punt?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 06-04-'12, 18:10

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Ondergroep

Dan omdat die omgevormd wordt tot restklasse in het beeld? x en z komen 'onbewerkt' in het beeld, toch?
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”