[wiskunde] Ondergroep

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 09-04-'12, 18:52

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Ondergroep

Ik heb het al op de eerste manier gedaan.
\(x_3y_3 = \pm 1\)
, dus niet van belang voor 'evenheid'.

Dus er moet gelden dat
\((x_1 - x_3)y_2 + (y_3 - y_1)x_2 \in 2\mathbb{Z}\)
. Er geldt dat
\(x_1 - x_3 = -2, 0, 2\)
en dat geldt ook voor
\(y_3 - y_1\)
, dus
\((x_1 - x_3)y_2 + (y_3 - y_1)x_2 \in 2\mathbb{Z}\)
, toch?

Het tweede deel van de vraag:
\(A/[A, A]\)
is toch de verzameling A 'minus' [A, A]?
\(A/[A, A] = \{\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix}\)
met
\(x = \pm1, y \in 2\mathbb{Z} + 1, z = \pm1\}\)
, dus de elementen zijn matrices waarbij de y een oneven getal is.
\(\simeq\)
betekent toch ongeveer gelijk?
Omhoog

Bericht 09-04-'12, 19:39

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Ondergroep

Tja, je redenering klopt. Maar mooi is het niet echt hè ;) . Met mijn hint:
\(\overline{\frac{x_1 y_2 - x_2 y_1 + x_2 y_3 - x_3 y_2}{x_3 y_3}} = \overline{x_1 y_2 - x_2 y_1 + x_2 y_3 - x_3 y_2} = \overline{x_1 y_2} + \overline{x_2 y_1} + \overline{x_2 y_3} + \overline{x_3 y_2} = \)
\(\overline{y_2} + \overline{x_2} + \overline{x_2} + \overline{y_2} = \overline{0}\)
.

Voor het tweede deel, zitten veel van je begrippen nog fout. G/H is (in het algemeen) gewoon de nevenklasse. Zie Wiki. En volgens mij bedoelen ze isomorf. Kan het ook dat er eigenlijk
\(\cong\)
staat?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 09-04-'12, 19:59

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Ondergroep

Oh, dat is dan hier ook zo. Ik zat niet in de juiste paragraaf te kijken.

De verzameling linkernevenklassen wordt dus genoteerd met
\(A/[A,A]\)
. Laat ik
\([A,A]\)
even D noemen. Een linkernevenklasse van D is een deelverzameling van de vorm:
\(aD = \{ad: d \in D\}\)
.

Ik vraag me nu af waarom er meerdere linkernevenklassen zijn, want aD is toch maar één verzameling?
\((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3\)
staat voor
\(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)
, dus bijvoorbeeld
\((\overline{x}, \overline{y}, \overline{z})\)
?

Het staat inderdaad voor isomorf. Er staat wel degelijk
\(\simeq\)
, maar ze bedoelen even goed isomorfie. Om aan te tonen dat het isomorf is, moet de afbeelding:
\(j: A/D \rightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)
een bijectief homomorfisme zijn?
Omhoog

Bericht 09-04-'12, 20:01

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Ondergroep

Dat zoek je inderdaad. Of, wat ook werkt, ken je de eerste isomorfiestelling voor groepen?

En ik snap je vraag niet goed ivm de nevenklassen. Voor elke a is aD een nevenklasse, en je hebt meerdere a's. Is dat een antwoord?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 09-04-'12, 20:09

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Ondergroep

Ja, dat is inderdaad een antwoord ;)

Ik ken inderdaad een isomorfiestelling die ook goed overeenkomt met het eerste deel van de vraag. Als
\(k: A \rightarrow (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3\)
een homomorfisme is, dan geldt dat:
\(A/\text{ker}(k) \simeq k(A)\)
.
\(k(A) = (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3\)
toch?

Dan hoef ik enkel aan te tonen dat k een homomorfisme is, en dan is de vraag beantwoord, want
\(\ker{k} = [A, A]\)
. Klopt dit?
Omhoog

Bericht 09-04-'12, 20:17

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Ondergroep

Fruitschaal schreef: ↑ma 09 apr 2012, 20:09
Ja, dat is inderdaad een antwoord ;)

Ik ken inderdaad een isomorfiestelling die ook goed overeenkomt met het eerste deel van de vraag. Als
\(k: A \rightarrow (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3\)
een homomorfisme is, dan geldt dat:
\(A/\text{ker}(k) \simeq k(A)\)
.
Die heb je inderdaad nodig. Klassiek verwijst men hiernaar als de eerste isomorfiestelling (voor groepen).
\(k(A) = (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3\)
toch?
Dat is wat rap. Je beeld moet sowieso een deelverzameling zijn van {-1, 1} x {-1, 1} x Z2. Maar je kunt wel iets anders zeggen. Een groep met 2 elementen, zijnde {-1, 1}, zal altijd isomorf zijn met ...?

Dan hoef ik enkel aan te tonen dat k een homomorfisme is, en dan is de vraag beantwoord, want
\(\ker{k} = [A, A]\)
. Klopt dit?
Ook weer bijna. Het moet een surjectief homomorfisme zijn. Surjectief omdat dan het beeld gelijk is aan alles, zijnde {-1, 1} x {-1, 1} x Z2. Homomorfisme om duidelijke redenen. Gelden beiden denk je? En waarom?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 09-04-'12, 20:26

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Ondergroep

Waarom moet het beeld van k een deelverzameling zijn van {-1, 1) x {-1, 1} x Z2? De afbeelding is toch gedefinieerd dat het beeld Z2 x Z2 x Z2 is?

Over het surjectieve homomorfisme; volgens de definitie van een isomorfie moet het toch juist bijectief zijn?

En ik denk dat ze wel gelden, vraag b en c hebben er beide een beetje toe geleid :P
Omhoog

Bericht 09-04-'12, 20:29

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Ondergroep

Je functie is echt wel anders gedefinieerd hoor:
Fruitschaal schreef: ↑wo 04 apr 2012, 19:38
\(f: A \rightarrow \{\pm1\} \times \{\pm1\} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)
wil je dus kunnen gebruiken wat je tot nu bewezen hebt, zal je beeld echt niet zijn wat jij zegt. Dat is heel makkelijk op te lossen, maar voor ik je dat kan/ga uitleggen, moet je inzien dat je beeld een deel is van wat ik zei.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 09-04-'12, 20:37

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Ondergroep

Maar ik heb nu een nieuwe afbeelding k gedefinieerd, had ik het gewoon bij f moeten houden?

Dat je het overigens bij deze f moest houden, kon je om meerdere redenen vermoeden. De eerste is natuurlijk het antwoord op bovenstaande vragen (wat je er al van weet), het tweede is dat je in een reeks vragen zit en waarschijnlijk daar dus op moet voortbouwen.
Omhoog

Bericht 09-04-'12, 20:39

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Ondergroep

Je moet het inderdaad bij die f houden. Want daar ken je de kern al van. Je weet daar ook nog andere zaken van die ook nuttig zijn nu. Welke?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 09-04-'12, 20:41

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Ondergroep

Dat het een surjectief homomorfisme is.
Omhoog

Bericht 09-04-'12, 20:43

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Ondergroep

Inderdaad. Dus je weet van f volgende zaken:
  • de kern is [A, A]
  • homomorfisme
  • surjectief
Wat moet je dan nog doen om de vraag te beantwoorden?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 09-04-'12, 21:22

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Ondergroep

Volgens de Eerste Isomorfiestelling geldt voor een surjectief homomorfisme dat:
\(A/\text{ker}(f) \simeq \{\pm1\} \times \{\pm1\} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)
. Dus ik moet alleen die
\(\{\pm1\} \times \{\pm1\} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)
'omvormen' naar
\((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3\)
.

Je stelde nu dat het iets een deelverzameling van iets anders is. Wat bedoel je precies? :)
Omhoog

Bericht 09-04-'12, 21:29

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Ondergroep

Ja, dat sloeg op het feit dat je beeld niet altijd alles zal zijn van hetgeen je in terecht komt. Dat is enkel bij surjectieve afbeeldingen zo. Dus dat is niet meer belangrijk.

Er rest je nu inderdaad alleen nog om 'om te vormen'. Concreet betekent dit dat je wilt:
\(\{\pm 1\} \times \{\pm 1\} \times \zz_2 \simeq \zz_2 \times \zz_2 \times \zz_2\)
. Zie je dat dit is wat je wilt?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 09-04-'12, 21:33

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Ondergroep

Ja, want als dat linkerdeel isomorf is met dat rechterdeel, dan impliceert dat ook dat A/[A, A] isomorf is met dat rechterdeel.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”