[wiskunde] Ondergroep

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 524

Ondergroep

Er zijn weer een aantal vragen waar ik niet uitkom. Dus ik hoop op jullie hulp! =)

Stel
\(A = \{\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix}\)
met
\(x = \pm1, y \in \mathbb{Z}, z = \pm1 \} \subseteq GL_2(\mathbb{R})\)
,

waarbij
\(GL_2(\mathbb{R}) = \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} : a,b,c,d \in \mathbb{R}, ad - bc \neq 0\}\)
, met als bewerking de vermenigvuldiging en eenheidselement
\(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
en inverse
\(\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)
a) Toon aan dat
\(A\)
een ondergroep is van
\(GL_2(\mathbb{R})\)
[/b]

Nou, er is al aangegeven dat A een deelverzameling is van die groep GL2. Dus als A niet leeg is, en voor ieder tweetal elementen x en y in H ook xy en x-1 in A, dan is A een ondergroep.

A is niet leeg, want het bevat het eenheidselement.

Verder stel ik dat:
\(x = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ 0 & x_3 \end{pmatrix}\)
\(x = \begin{pmatrix} y_1 & y_2 \\ 0 & y_3 \end{pmatrix}\)
Dus:
\(xy = \begin{pmatrix} x_1y_1 & x_1y_2 + x_2y_3 \\ 0 & x_3y_3 \end{pmatrix}\)
\(x_1y_1 = \pm1*\pm1 = \pm1\)
\(x_1y_2 + x_2y_3 \in \mathbb{Z}\)
\( x_3y_3 = \pm1*\pm1 = \pm1\)
Dus
\(xy \in A\)
.
\(x^{-1} = \frac{1}{x_1x_3}\begin{pmatrix} x_3 & -x_2 \\ 0 & x_1 \end{pmatrix}\)
en dat zit ook weer in A.

Dus A is een ondergroep.

Mijn vraag is nu of deze redenatie klopt.

---

b) Toon aan dat
\(f: A \rightarrow \{\pm1\} \times \{\pm1\} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)
gegeven door
\(f(\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ 0 & x_3 \end{pmatrix}) = (x_1, x_3, \overline{x_2})\)
een surjectief homomorfisme is.

Voor een homomorfisme geldt dat
\(f(x)f(y) = f(xy)\)
voor alle
\(x, y \in A\)
.
\(f(x)f(y) = (x_1, x_3, \overline{x_2})(y_1, y_3, \overline{y_2})\)
.
\(f(xy) = (x_1y_1, x_3y_3, \overline{x_1y_2 + x_2y_3})\)
Ik weet eigenlijk niet goed hoe ik die vermenigvuldiging van f(x)f(y) moet uitrekenen en dan dus kan aantonen dat het gelijk aan f(xy) is.

Daarnaast, wat is een surjectief homomorfisme?

-----

Alvast bedankt!

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Ondergroep

Fruitschaal schreef: wo 04 apr 2012, 19:38
Mijn vraag is nu of deze redenatie klopt.
Ja :) .

Ik weet eigenlijk niet goed hoe ik die vermenigvuldiging van f(x)f(y) moet uitrekenen en dan dus kan aantonen dat het gelijk aan f(xy) is.
Je moet de puntsgewijze vermenigvuldiging nemen. Dus (a, b, c).(d, e, f) = (ad, be, cf). Zie ook hier

Daarnaast, wat is een surjectief homomorfisme?
Hier snap ik je probleem niet... Je weet wat een homomorfisme is (die def geef je zelf). En surjectiviteit van een afbeelding ken je waarschijnlijk ook?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Ondergroep

Bedankt voor je reactie!

Oké, dus
\(f(x)f(y) = (x_1, x_3, \overline{x_2})(y_1, y_3, \overline{y_2}) = (x_1y_1, x_3y_3, \overline{x_2y_2})\)
.
\(f(xy) = (x_1y_1, x_3y_3, \overline{x_1y_2 + x_2y_3})\)
Dus dan moet dus gelden dat
\((x_1y_1, x_3y_3, \overline{x_2y_2}) = (x_1y_1, x_3y_3, \overline{x_1y_2 + x_2y_3})\)
Dus:
\(\overline{x_2y_2} = \overline{x_1y_2 + x_2y_3}\)
Ik begrijp niet hoe ik die kan 'samenvatten'. Er geldt wel dat
\(x_1 = \pm1 = x_3\)
, maar dan? :P

Als dit lukt heb ik aangetoond dat het een homomorfisme is en dan moet ik nog aantonen dat het surfjectief is en dan is het een surjectief homomorfisme?

Voor surjectiviteit moet gelden dat:
\(\forall b \in \{\pm1\} \times \{\pm1\} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \exists x \in A: f(x) = b\)
Ik weet niet meer hoe je zoiets aantoont :oops:

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Ondergroep

Je moet natuurlijk de 'vermenigvuldiging' juist interpreteren :) . Wat is je groepsactie voor Z/2Z? * of +, wat is het meest logisch?

Op surjectiviteit komen we later terug :) . Eerst dit oplossen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Ondergroep

Drieske schreef: wo 04 apr 2012, 21:03
Je moet natuurlijk de 'vermenigvuldiging' juist interpreteren :) . Wat is je groepsactie voor Z/2Z? * of +, wat is het meest logisch?

Op surjectiviteit komen we later terug :) . Eerst dit oplossen.
De optelling toch?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Ondergroep

Inderdaad... Dus wat wordt f(x)f(y)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Ondergroep

\(f(x)f(y) = (x_1, x_3, \overline{x_2})(y_1, y_3, \overline{y_2}) = (x_1+y_1, x_3+y_3, \overline{x_2+y_2})\)
.
\(f(xy) = (x_1y_1, x_3y_3, \overline{x_1y_2 + x_2y_3})\)
, als ik me niet vergis.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Ondergroep

Dat klopt bijna. Welke bewerking heb je op {1, -1}? Bedenk dat je wilt dat het een groep is.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Ondergroep

Vergeten te vermelden: bij {1, -1} geldt uiteraard weer dezelfde vraag of het + of * moet zijn...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Ondergroep

Drieske schreef: wo 04 apr 2012, 21:27
Vergeten te vermelden: bij {1, -1} geldt uiteraard weer dezelfde vraag of het + of * moet zijn...
Ah, ik begrijp nu wat er geldt. Voor de restklasse is de bewerking de optelling, maar voor {1, -1} de vermenigvuldiging.

Dus:
\(f(x)f(y) = (x_1, x_3, \overline{x_2})(y_1, y_3, \overline{y_2}) = (x_1y_1, x_3y_3, \overline{x_2+y_2})\)
.
\(f(xy) = (x_1y_1, x_3y_3, \overline{x_1y_2 + x_2y_3})\)
, als ik me niet vergis.



En dan moet dus gelden dat
\(\overline{x_2 + y_2} = \overline{x_2y_3 + x_1y_2}\)
y3 en x1 zijn -1 of 1, dus er zijn vier scenario's mogelijk:

y3 = 1, x1 = 1:

x_2 + y_2 = x_2 + y_2. Klopt.

y3 = 1 en x1 = -1

x_2 + y_2 = x_2 - y_2. Dit klopt dus niet.

Hetzelfde voor y3 = -1 en x1 = 1.

y3 = -1 en x1 = -1:

x_2 + y_2 = -(x_2 + y_2). Dit klopt ook niet.

Dus ik loop even vast zoals je ziet :P

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Ondergroep

Je werkt in een groep met 2 elementen. In zo'n groep geldt dat -1 = ...? Overigens maakt mijn vraag gevalsonderscheid overbodig. En waarom je vastloopt zit ook in de vraag van mij verdoken ;) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Ondergroep

-1 * 1 = -1?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Ondergroep

In Z/2Z heb je in se maar 2 elementen: 0 en 1. Al de rest is gelijk aan één van deze 2. Zo is -1 gelijk aan 1. In wiskundige notatie:
\(\overline{1} = \overline{-1}\)
. Waarom? Zie je nu waarom het gevraagde klopt?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Ondergroep

Drieske schreef: wo 04 apr 2012, 21:47
In Z/2Z heb je in se maar 2 elementen: 0 en 1. Al de rest is gelijk aan één van deze 2. Zo is -1 gelijk aan 1. In wiskundige notatie:
\(\overline{1} = \overline{-1}\)
. Waarom? Zie je nu waarom het gevraagde klopt?
Ja, natuurlijk.
\(\overline{0} = \{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...\}\)
\(\overline{1} = \{..., -3, -1, 1, 3, 5, ...\} = \overline{-1}\)
Ik zal het morgen even verwerken. Bedankt! ;)

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Ondergroep

Inderdaad :) . Maar nu ben je er dus wel hoor. Want nu is
\(\overline{x_1} = \overline{x_3} = \)
... Gebruik dan dat
\(\overline{a + b} = \)
...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Reageer