Ondergroep
Geplaatst: wo 04 apr 2012, 19:38
Er zijn weer een aantal vragen waar ik niet uitkom. Dus ik hoop op jullie hulp! =)
Stel
waarbij
Nou, er is al aangegeven dat A een deelverzameling is van die groep GL2. Dus als A niet leeg is, en voor ieder tweetal elementen x en y in H ook xy en x-1 in A, dan is A een ondergroep.
A is niet leeg, want het bevat het eenheidselement.
Verder stel ik dat:
Dus A is een ondergroep.
Mijn vraag is nu of deze redenatie klopt.
---
b) Toon aan dat
Voor een homomorfisme geldt dat
Daarnaast, wat is een surjectief homomorfisme?
-----
Alvast bedankt!
Stel
\(A = \{\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix}\)
met \(x = \pm1, y \in \mathbb{Z}, z = \pm1 \} \subseteq GL_2(\mathbb{R})\)
,waarbij
\(GL_2(\mathbb{R}) = \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} : a,b,c,d \in \mathbb{R}, ad - bc \neq 0\}\)
, met als bewerking de vermenigvuldiging en eenheidselement \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
en inverse \(\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)
a) Toon aan dat \(A\)
een ondergroep is van \(GL_2(\mathbb{R})\)
[/b]Nou, er is al aangegeven dat A een deelverzameling is van die groep GL2. Dus als A niet leeg is, en voor ieder tweetal elementen x en y in H ook xy en x-1 in A, dan is A een ondergroep.
A is niet leeg, want het bevat het eenheidselement.
Verder stel ik dat:
\(x = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ 0 & x_3 \end{pmatrix}\)
\(x = \begin{pmatrix} y_1 & y_2 \\ 0 & y_3 \end{pmatrix}\)
Dus:\(xy = \begin{pmatrix} x_1y_1 & x_1y_2 + x_2y_3 \\ 0 & x_3y_3 \end{pmatrix}\)
\(x_1y_1 = \pm1*\pm1 = \pm1\)
\(x_1y_2 + x_2y_3 \in \mathbb{Z}\)
\( x_3y_3 = \pm1*\pm1 = \pm1\)
Dus \(xy \in A\)
.\(x^{-1} = \frac{1}{x_1x_3}\begin{pmatrix} x_3 & -x_2 \\ 0 & x_1 \end{pmatrix}\)
en dat zit ook weer in A.Dus A is een ondergroep.
Mijn vraag is nu of deze redenatie klopt.
---
b) Toon aan dat
\(f: A \rightarrow \{\pm1\} \times \{\pm1\} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)
gegeven door \(f(\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ 0 & x_3 \end{pmatrix}) = (x_1, x_3, \overline{x_2})\)
een surjectief homomorfisme is.Voor een homomorfisme geldt dat
\(f(x)f(y) = f(xy)\)
voor alle \(x, y \in A\)
.\(f(x)f(y) = (x_1, x_3, \overline{x_2})(y_1, y_3, \overline{y_2})\)
.\(f(xy) = (x_1y_1, x_3y_3, \overline{x_1y_2 + x_2y_3})\)
Ik weet eigenlijk niet goed hoe ik die vermenigvuldiging van f(x)f(y) moet uitrekenen en dan dus kan aantonen dat het gelijk aan f(xy) is.Daarnaast, wat is een surjectief homomorfisme?
-----
Alvast bedankt!
.
.