Springen naar inhoud

Permutatiegroep



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 april 2012 - 20:53

Het is voor mij nog redelijk onduidelijk wat permutatiegroepen nu inhouden, dus heb ook moeite met de volgende vraag (vragen):

---

Stel dat LaTeX . In deze opdracht mag de aanname gebruikt worden dat twee permutaties in LaTeX geconjugeerd zijn dan en slechts dan als ze hetzelfde cykeltype hebben.

Ik moet zeggen dat ik eerst totaal niet begreep wat er stond, maar heb even wat opgezocht.
LaTeX is de symmetrische groep die bestaat uit permutaties van 5 objecten. De orde is LaTeX , dus LaTeX bevat 120 elementen.

LaTeX , dus B is een deelverzameling van LaTeX . LaTeX is de alternerende groep en is de kern van het tekenhomomorfisme LaTeX . Dus LaTeX .

Welke cykeltypes komen voor als elementen van LaTeX ? Laat voor elk cykeltype behalve de 5-cykels zien dat alle elemten in LaTeX geconjugeerd zijn (en dus niet alleen in LaTeX ).

Eigenlijk weet ik niet eens hoe ik moet beginnen. Ik hoop graag op hulp :)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 05 april 2012 - 21:28

Bedenk dat A5 de groep is van de even permutaties ...

#3

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 april 2012 - 21:36

Bedenk dat A5 de groep is van de even permutaties ...

Wat houdt dat in?

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 05 april 2012 - 21:53

De groep van de even permutaties ...
Je weet dat je evenveel even als oneven permutaties hebt !?!
Wat weet je van de samenstelling van even-even, even-oneven en oneven-oneven permutaties ...

#5

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 april 2012 - 12:44

De groep van de even permutaties ...
Je weet dat je evenveel even als oneven permutaties hebt !?!
Wat weet je van de samenstelling van even-even, even-oneven en oneven-oneven permutaties ...

Een permutatie is een bijectie tussen een verzameling en zichzelf.
Een even permutatie is een samenstelling van een even aantal verwisselingen, een oneven permutatie is een samenstelling van een oneven aantal verwisselingen. De identieke permutatie is even, elke verwisseling is oneven.
Dus bijvoorbeeld 4 -> 4 is even en 4 -> 3, 3 -> 4 is oneven. Dat begrijp ik wel.
Dus LaTeX bestaat bijvoorbeeld uit 4 -> 4, maar ook uit 4 -> 3, 3 -> 2, 2 -> 4 toch?

Waarom heb je net zoveel even als oneven permutaties?

Veranderd door Fruitschaal, 06 april 2012 - 12:45


#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 april 2012 - 13:28

Als je de elementen ven een verz rangschikt heb je een permutatie:
Stel je hebt 3 elementen: a1, a2, a3, 1, 2 en 3 zijn de indices. Dan hoef je alleen maar te letten op de indices
Dus een permutatie is dan bv de identieke permutatie:
LaTeX
Dit vervangen we door:
LaTeX
Wat is dan:
LaTeX
Is dit even of oneven?

Waarom heb je net zoveel even als oneven permutaties?

Stel we hebben een verz van drie elementen 1,2,3.
Hoeveel permutaties zijn er hoeveel zijn er even?
Kan je dit generaliseren naar n elementen ...

#7

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 april 2012 - 13:39

Ik begrijp niet helemaal waar die matrices nou voor staan.

1 -> 1
2 -> 2
3 -> 3
3x even.

1 -> 2, 2 -> 1
2 -> 3, 3 -> 2
3 -> 1, 1 -> 3
3x oneven

3 -> 2, 2 -> 1, 1 -> 3
2 -> 3, 3 -> 1, 1 -> 2
2x even

Dan kom ik uit op 5 keer even en 3 keer oneven =\
Ik zie wat over het hoofd...

#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 april 2012 - 15:01

Het zijn geen matrices, het zijn vereenvoudigde schema's om de permutatie aan te geven.
Hoeveel permutaties hebben 3 elementen?
Kan je ze met die schema's noteren? (je kan natuurlijk gebruik maken van de gebruikte Latexcode in mijn post)
Er is een mooie meetkundige interpretatie: bekijk een gelijkzijdige driehoek en geef de hoekptn de cijfers 1, 2 en 3.

Een permutatie is een congruente afbeelding zoals een draaiing over veelvouden van 120° en spiegelen in de drie symmetrie assen.

#9

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 april 2012 - 17:07

Eigenlijk begrijp ik niet wat je bedoelt. Zou je een voorbeeld kunnen geven? Dat maakt het wat sprekender voor mij.

#10

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 april 2012 - 18:31

Ik dacht dat ik daarmee bezig was ...


Eerst maar dit

LaTeX

Hoe lees je dit? Is dit (voor jou) een permutatie? Zo ja, welke?


Het vb met de gelijkzijdige driehoek, wat zegt je dat?

Veranderd door Safe, 06 april 2012 - 18:33


#11

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 april 2012 - 16:21

Ik zie dat als 1 -> 1, 2 -> 3, 3 -> 2. Klopt dat? Er is een verwisseling en identieke permutatie, dus oneven?

Dat met die driehoek zegt met eigenlijk niets. Je noemt de hoekpunten 1, 2 en 3 en vervolgens trek je pijltjes over de zijden ofzo?

#12

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 09 april 2012 - 16:55

Ik heb nu geen enkel idee hoe je permutaties hebt leren hanteren en opschrijven ...

Maar eerst die driehoek. Teken een gelijkzijdige driehoek (hoekptn 1, 2 en 3) op een vel papier en een even grote (ook 1, 2 en 3) die je uitknipt.
Leg die uitgeknipte driehoek op je driehoek zodat de (genummerde) hoekptn samenvallen. Dit is de identieke transformatie:
LaTeX
Draai nu de (losse) driehoek linksom zo dat 1->2, 2->3, 3->1

LaTeX

Onder-driehoek is de bovenregel en losse driehoek is de onderregel.
Je kan nog een keer draaien en nog eens ... , nu moet je weer:
LaTeX
hebben.
Over welke hoek heb je nu steeds gedraaid?

Nu kan je de losse driehoek ook omkeren
Leg de driehoek zo dat 3->3, 1->2, 2->1.
Welke transformatie?

#13

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 april 2012 - 17:03

Ik draai steeds over een hoek van 120 graden. Dus mocht ik dit met vierkanten doen, zou ik over 90 graden draaien, toch?

Als ik de losse driehoek omdraai, dan kan ik hem inderdaad neerleggen zoals jij vraagt. Dus ik heb hem dan enkel gespiegeld (langs hoek 3) en niet geroteerd, toch? Hoe heet zo'n transformatie dan?

Veranderd door Fruitschaal, 09 april 2012 - 17:03


#14

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 09 april 2012 - 17:38

Als ik de losse driehoek omdraai, dan kan ik hem inderdaad neerleggen zoals jij vraagt. Dus ik heb hem dan enkel gespiegeld (langs hoek 3) en niet geroteerd, toch? Hoe heet zo'n transformatie dan?

Wat is je bovenregel (altijd) en je onderregel?


Ik draai steeds over een hoek van 120 graden.

Klopt

Dus mocht ik dit met vierkanten doen, zou ik over 90 graden draaien, toch?

Klopt

#15

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 april 2012 - 17:54

LaTeX ?






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures