Springen naar inhoud

Bewijs Lim (Xn.Yn) = Lim Xn . Lim Yn



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 april 2012 - 15:19

Lim Xn = a
n -> oo

Lim Yn = b
n -> oo

Lim (Xn.Yn) = Lim Xn . Lim Yn
n -> oo

Kies een willekeurige K > 0, Merk op de voor alle n ∈ N geldt dat:

|(Xn.Yn) - (a.b)| ≤ ...

Op de plaats van '...' moet dan volgens mij iets komen in de aard van
'|Xn - a|.|Yn - b|' (m.a.w. iets waarvan we weten dat we het willekeurig klein kunnen krijgen).

Maar met wat staat '|(Xn.Yn) - (a.b)|' in verband ?

Dank bij voorbaat!

Veranderd door Biesmansss, 06 april 2012 - 15:25

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 april 2012 - 15:27

xn.yn-xn.b+xn.b-ab ...
probeer dit eens.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 april 2012 - 15:56

Iets in de richting van
xn.yn-xn.b+xn.b-ab = Xn (Yn - b) + b(Xn -a) ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 april 2012 - 17:38

Ok, maar nu moet je ook je gegeven gebruiken.
Bv: uit je gegeven
LaTeX
volgt:

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 april 2012 - 17:41

xn.yn-xn.b+xn.b-ab = Xn (Yn - b) + b(Xn -a)

Uit de gegevens Lim Xn = a en Lim Yn = b volgt dat we:

|Xn -a| en |Yn-b| willekeurig klein kunnen krijgen.

Dus kunnen we 'Xn (Yn - b) + b(Xn -a)' ook willekeurig klein krijgen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 april 2012 - 17:57

Om je bewijs te starten noteer eerst even wat je allemaal gegeven hebt. Stel LaTeX (dit wil zeggen dat de rij LaTeX convergeert naar LaTeX ) en stel LaTeX en stel verder LaTeX . Vanwege LaTeX bestaat er een LaTeX zodanig dat:
LaTeX (1)
En bovendien vanwege LaTeX bestaat er een LaTeX zodanig dat:
LaTeX (2)

Merk op dat ik nog niets heb ingevuld op de ..., dit kan je best doen (vind ik persoonlijk) nadat je de goede afschatting hebt gevonden voor de uitdrukking hieronder.

Kan je nu een LaTeX kiezen zodanig dat aan (1) en (2) voldaan is? En je dus voor alle indexen LaTeX voorbij LaTeX het volgende mag schrijven (wat je zelf al had gevonden):
LaTeX

Je ziet nu duidelijk dat je er bijna bent, maar je hebt nog een afschatting nodig om die LaTeX kleiner te krijgen dan 'iets'. Heb je enig idee hoe? Probeer te denken aan de begrenzing van de convergente rij. Als je dit hebt ben je er.

Veranderd door Siron, 06 april 2012 - 18:00


#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 april 2012 - 11:22

We kunnen 'n0' op de volgende manier kiezen: n0 ≥ max{n1,n2}, dan is n voor alle indices n ≥ n0 groter dan n1 en groter dan n2.

We kunnen (1) en (2) kleiner krijgen dan 'ε / |Xn|' ?
Door de oorspronkelijke 'ε' te delen door |Xn| wordt deze alleen maar kleiner; dus dat is 'positief' ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 07 april 2012 - 11:39

Je geeft geen afschatting ...
Heb je zoiets nog niet eerder gezien?

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 april 2012 - 11:44

Hhmmm, nee. Dit heb ik nog niet eerder gezien. :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 april 2012 - 11:51

Zo zou ik verdergaan:

LaTeX omdat LaTeX convergent is.

LaTeX

enz.
Quitters never win and winners never quit.

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 april 2012 - 12:00

Zo zou ik het verdergaan:

LaTeX

omdat LaTeX convergent is.

LaTeX

enz.


Waarom '2C' en niet gewoon 'C' ?

Veranderd door Biesmansss, 07 april 2012 - 12:01

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 april 2012 - 12:03

Omdat ik naar LaTeX toe wil :)
Quitters never win and winners never quit.

#13

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 april 2012 - 12:10

Dus:

|(Xn.Yn) - (a.b)| = |Xn|.|Yn - b| + |b|.|Xn - a| ≤ ε / (2C) + ε / (2C) = ε / C < ε

Waarom het bovenstaande bewezen is ?

Veranderd door Biesmansss, 07 april 2012 - 12:12

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#14

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 april 2012 - 12:12

Nee, |Xn|.|Yn - b|≤ C * ε / (2C) = ε / 2.
Quitters never win and winners never quit.

#15

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 april 2012 - 12:19

Nee, |Xn|.|Yn - b|≤ C * ε / (2C) = ε / 2.


Ah ja, dat is wel verstandig; maar dan krijg je toch problemen bij (1) en (2) want dan werk je voor Lim Xn met 'ε / 2C' en voor Lim Yn met 'ε / 2'. Snap je wat ik bedoel

Om je bewijs te starten noteer eerst even wat je allemaal gegeven hebt. Stel LaTeX

(dit wil zeggen dat de rij LaTeX convergeert naar LaTeX ) en stel LaTeX en stel verder LaTeX . Vanwege LaTeX bestaat er een LaTeX zodanig dat:
LaTeX (1)
En bovendien vanwege LaTeX bestaat er een LaTeX zodanig dat:
LaTeX (2)

Merk op dat ik nog niets heb ingevuld op de ..., dit kan je best doen (vind ik persoonlijk) nadat je de goede afschatting hebt gevonden voor de uitdrukking hieronder.

Kan je nu een LaTeX kiezen zodanig dat aan (1) en (2) voldaan is? En je dus voor alle indexen LaTeX voorbij LaTeX het volgende mag schrijven (wat je zelf al had gevonden):
LaTeX

Je ziet nu duidelijk dat je er bijna bent, maar je hebt nog een afschatting nodig om die LaTeX kleiner te krijgen dan 'iets'. Heb je enig idee hoe? Probeer te denken aan de begrenzing van de convergente rij. Als je dit hebt ben je er.

Veranderd door Biesmansss, 07 april 2012 - 12:22

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures