Wetenschapsforum

Lim Xn = a

n -> oo

Lim Yn = b

n -> oo

Lim (Xn/Yn) = Lim Xn / Lim Yn

n -> oo

Kies een willekeurige K > 0, Merk op de voor alle n ∈ N geldt dat:

|(Xn/Yn) - (a/b)| ≤ ...

Op de plaats van '...' moet dan volgens mij iets komen in de aard van

'|Xn - a| / |Yn - b|' (m.a.w. iets waarvan we weten dat we het willekeurig klein kunnen krijgen).

Maar met wat staat '|(Xn/Yn) - (a/b)|' in verband ?

Dank bij voorbaat!

Zijn a en b beiden reëel (en dus eindig) of kunnen ze ook oneindig zijn? Indien ja, moet je gevalsonderscheid gaan maken in eerste instantie.

Heb je al het geval van product (ipv quotiënt) bewezen?

Edit: dat is je andere vraag . Mag ik het als bewezen beschouwen?

Drieske schreef: ↑vr 06 apr 2012, 16:28
Zijn a en b beiden reëel (en dus eindig) of kunnen ze ook oneindig zijn? Indien ja, moet je gevalsonderscheid gaan maken in eerste instantie.

Heb je al het geval van product (ipv quotiënt) bewezen?

Ik denk dat men in de cursus bedoelt dat ze zowel eindig als oneindig kunnen zijn. Nee dat van het product heb ik nog niet bewezen, daar zat ik ook mee vast; maar dit loopt in een andere topic.

Dan zal je onderscheid moeten maken. Ten eerste als de limiet van de noemer 0 is. En dan ook voor oneindigheid van teller en/of noemer.

We zullen samen het geval dat beide limieten eindig zijn, en noemer niet 0 uitwerken. De rest is analoog.

Mag het product gebruikt worden of liefst niet? Het vermakkelijkt alleen notatie .

Wacht ik ben niet zeker of we oneindig ook mogen gebruiken. In de cursus staat letterlijk:

"Beschouw twee rijen Xn en Yn. Veronderstel dat beide rijen convergeren (dus een eindige limiet hebben)"

Door 'convergeren' zou ik denken dat oneindig ook mag, maar door 'een eindige limiet hebben' ben ik hier niet meer zo zeker van.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bij de opgave van het quotient staat trouwens ook:

"Als Yn ≠ 0 voor alle n ∈ N (behalve eventueel een eindig aantal) en als Lim Yn ≠ 0 dan convergeert rij (Xn/Yn)"

Okee. Dan moet gevalsonderscheid niet . En heb je ook geen last van 0 in de noemer... Nu nog dit:

Mag het product gebruikt worden of liefst niet?

Drieske schreef: ↑vr 06 apr 2012, 17:12
Okee. Dan moet gevalsonderscheid niet . En heb je ook geen last van 0 in de noemer... Nu nog dit:

Euhm, ik vermoed dat je dit wel mag gebruiken; maar dan zou ik liefst eerst dat bewijsje voor het product gevonden hebben.

Aan jou de keuze. Het gaat rechtstreeks, maar het voordeel (en ook de reden van mijn vraag) is dit: als je de productregel als gekend verondersteld, is het voldoende om te bewijzen dat als , dan . En dat werkt gewoon net dat makkelijker . Niet meer, niet minder.

Ok, laten we het dan maar doen met de productregel.

Okee . Voor de duidelijkheid: mij maakt het niet hoor! En zie je in waarom dat voldoende is?

Omdat je dan via de productregel kan aantonen dat Y . (1/Y) = 1 ?

Algemener toch ook? ...

Maar nu het bewijs van het 'voldoende te bewijzen' . Enig idee hoe te beginnen?

Klopt.

Ik heb niet direct een idee, nee. Misschien iets in de aard van:

Lim Yn = b

n -> oo

Lim (1/Yn) = 1/b

n-> oo

Kies een willekeurige K > 0, dan kunnen we steeds een n0 vinden zodat |Yn - b| < K; voor

alle indices n ≥ n0.

En nu zou ik proberen een verband te leggen tussen |Yn - b| < K en |(1/Yn) - (1/b)| < K

Een bewijs over limieten maak je eigenlijk achterstevoren. Nadien schrijf je het goed op. Je wilt: . Begin met: . Hoe zou je nu kunnen verdergaan?

| 1 / (bYn) | . | b - Yn | < ε

Of zit ik in de foute richting te denken ?