[wiskunde] Drievoudige integraal

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 157

Drievoudige integraal

Ik heb de volgende integraal
\(\iiint_D(3+2xy)dV\)
over
\(x^2+y^2+z^2 \leq 4\)
en
\(z \geq 0\)
.

Grenzen uitrekenen,
\(x = \pm\sqrt{4-y^2-z^2}\)
,
\(y = \pm\sqrt{4-z^2}\)
,
\(z = \sqrt{4} = 2\)


Dus de integraal wordt
\(\int_0^2\int_{-\sqrt{4-z^2}}^{\sqrt{4-z^2}}\int_{-\sqrt{4-y^2-z^2}}^{\sqrt{4-y^2-z^2}}(3+2xy)dxdydz\)
Nu kan ik deze integraal gaan uitrekenen maar ik heb zo het vermoeden dat dat echt een knoeiboel word. Nu heb ik even naar het antwoord gekeken en daar komen ze eigenlijk vrij snel tot het antwoord zonder ook maar iets uit te rekenen... Ze zeggen...
The hemispherical dome
\(x^2+y^2+z^2 \leq 4\)
,
\(z \geq 0\)
, is symmetric about the planes
\(x = 0\)
and
\(y = 0\)
. Therefore
\(\iiint_D(3+2xy)dV = 3\iiint_D1dV + 2\iiint_DxydV = 3*\frac{2}{3}*\pi*(2^3) + 0 = 16\pi\)
Kan iemand dit uitleggen? Ik snap dat er gevraagd wordt om de inhoud te berekenen van de ruimte dat wordt ingesloten door de bol en zich onder de paraboloïde bevind dat de bol doorkruist en dat dit inderdaad symmetrisch is in het
\(x\)
en
\(y\)
vlak. Maar hoe komen hun zo snel aan het antwoord op de twee afgesplitste integralen?

-edit- terwijl ik dit aan het opschrijven ben realiseer ik mij dat het antwoord van de integraal
\(\iiint_D1dV\)
gewoon het volume is van de bol
\(\frac{4}{3}\pi r^3\)
maar omdat
\(z\)
alleen positief is delen door
\(2\)
dus
\(\frac{2}{3}\pi r^3\)
... dan snap ik alleen nog niet waarom ze zo snel tot de conclusie komen dat
\(2\iiint_DxydV = 0\)
is.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Drievoudige integraal

Als ik me niet vergis, net vanwege die symmetrie: voor elke waarde voor x heb je een tegengestelde waarde voor -x?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Berichten: 157

Re: Drievoudige integraal

In physics I trust schreef: vr 06 apr 2012, 16:50
Als ik me niet vergis, net vanwege die symmetrie: voor elke waarde voor x heb je een tegengestelde waarde voor -x?
Ik kan maar heel moeilijk een voorstelling krijgen hoe de twee grafieken elkaar precies in 3D doorkruizen... maar als ik kijk naar... http://www.wolframal...2%2Cy%3D-2+to+2 begrijp ik het dan goed dat het vlak
\(xy\)
even vaak boven de
\(z\)
-as ligt als eronder (edit: eigenlijk precies wat je zegt :P haha)? Als plaatje...

[attachment=9982:Screenshot at 2012-04-06 18:27:49.png]

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Drievoudige integraal

Dat is inderdaad hoe ik het zie.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Reageer