Ik heb de volgende integraal
\(\iiint_D(3+2xy)dV\)
over
\(x^2+y^2+z^2 \leq 4\)
en
\(z \geq 0\)
.
Grenzen uitrekenen,
\(x = \pm\sqrt{4-y^2-z^2}\)
,
\(y = \pm\sqrt{4-z^2}\)
,
\(z = \sqrt{4} = 2\)
Dus de integraal wordt
\(\int_0^2\int_{-\sqrt{4-z^2}}^{\sqrt{4-z^2}}\int_{-\sqrt{4-y^2-z^2}}^{\sqrt{4-y^2-z^2}}(3+2xy)dxdydz\)
Nu kan ik deze integraal gaan uitrekenen maar ik heb zo het vermoeden dat dat echt een knoeiboel word. Nu heb ik even naar het antwoord gekeken en daar komen ze eigenlijk vrij snel tot het antwoord zonder ook maar iets uit te rekenen... Ze zeggen...
The hemispherical dome
\(x^2+y^2+z^2 \leq 4\)
,
\(z \geq 0\)
, is symmetric about the planes
\(x = 0\)
and
\(y = 0\)
. Therefore
\(\iiint_D(3+2xy)dV = 3\iiint_D1dV + 2\iiint_DxydV = 3*\frac{2}{3}*\pi*(2^3) + 0 = 16\pi\)
Kan iemand dit uitleggen? Ik snap dat er gevraagd wordt om de inhoud te berekenen van de ruimte dat wordt ingesloten door de bol en zich onder de paraboloïde bevind dat de bol doorkruist en dat dit inderdaad symmetrisch is in het
\(x\)
en
\(y\)
vlak. Maar hoe komen hun zo snel aan het antwoord op de twee afgesplitste integralen?
-edit- terwijl ik dit aan het opschrijven ben realiseer ik mij dat het antwoord van de integraal
\(\iiint_D1dV\)
gewoon het volume is van de bol
\(\frac{4}{3}\pi r^3\)
maar omdat
\(z\)
alleen positief is delen door
\(2\)
dus
\(\frac{2}{3}\pi r^3\)
... dan snap ik alleen nog niet waarom ze zo snel tot de conclusie komen dat
\(2\iiint_DxydV = 0\)
is.