Springen naar inhoud

Bewijs Lim r^n = +oo ( als r > 1)



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 april 2012 - 10:38

Het onderstaande bewijs staat letterlijk in mijn cursus, maar het is voor mij toch niet helemaal duidelijk. Het zou leuk zijn indien iemand dit voor mij een beetje wil ophelderen.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Als r > 1 is rij (rn) n ∈ N stijgend. Om te argumenteren dat ze limiet +oo heeft is het volgens stelling (...) voldoende om aan te tonen dat ze niet naar boven begrensd is. Veronderstel dat de rij (rn) n ∈ N wel naar boven begrensd zou zijn. Dan heeft verzameling {rn | n N} een supremum; noem dat supremum a. Dan geldt

rn ≤ a voor alle n N

rn-1 ≤ a / r voor alle n N (*)

rk ≤ a / r voor alle k N

We vinden dus dat 'a / r' een bovengrens is van de verzameling {rn | n N}. Maar dit is strijdig want a was de kleinste bovengrens vermits r > 1 is a / r < a.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dit bewijs staat letterlijk in ons boek, maar dit is zo raar ? Mijn intuïtie zou nl. zeggen dat wanneer ik de verzameling deel door 'r' wat ze bij (*) stap doen, het niet meer als normaal is dat ik de bovengrens ook zou mogen delen door 'r'.

M.a.w. ik vindt het maar een 'vaag' bewijs, klopt het wel ?


Dank bij voorbaat!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 april 2012 - 10:44

Ik snap je vraag niet... Ze delen de bovengrens toch door r?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 april 2012 - 10:54

Ik snap je vraag niet... Ze delen de bovengrens toch door r?


Ja en dan stellen ze dat 'a / r' opnieuw een bovengrens is voor de oorspronkelijke verzameling, maar dat is toch helemaal niet voor de oorspronkelijke verzameling ? Maar voor de oorspronkelijke verzameling gedeeld door 'r' ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 april 2012 - 10:59

Ja, maar dat beschrijft dezelfde verzameling hè... Je zit nu natuurlijk met wat notationele problemen, maar laat ik die verwaarlozen. Je bent het eens dat {an| n in N} hetzelfde is als {ak| k in N}? Hierbij verwaarloos ik even of het beginelement n, resp. k nu 0 of 1 is. Het is toch een (strikt) stijgende rij/verzameling, waardoor het supremum sowieso niet het eerste element zal zijn. Tot hier akkoord?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 april 2012 - 11:11

Ja, maar dat beschrijft dezelfde verzameling hè... Je zit nu natuurlijk met wat notationele problemen, maar laat ik die verwaarlozen. Je bent het eens dat {an| n in N} hetzelfde is als {ak| k in N}? Hierbij verwaarloos ik even of het beginelement n, resp. k nu 0 of 1 is. Het is toch een (strikt) stijgende rij/verzameling, waardoor het supremum sowieso niet het eerste element zal zijn. Tot hier akkoord?


Ja, hier ben ik het helemaal mee eens. En dat is de reden waarom we eigenlijk dezelfde verzameling beschrijven en waarom het dus ook hetzelfde supremum zou moeten hebben. Nu zie ik het. :D

Mr nog een ander vraagje:

Waarom werkt men hier met de stelling van een supremum ? En niet met een bewijs m.b.v. de definitie van een limiet ?
Was het niet voldoende om te zeggen:

Kies een willekeurige M ∈ R+. Neem voor n0 een natuurlijk getal dat strikt groter is dan
n' van r = n' √M. Kies dan een willekeurige n zodat n ≥ n0 . Omdat de rij een strikt stijgende functie is als r > 1 kunnen we besluiten dat:

rn ≥ rn0 > rn' = M

Veranderd door Biesmansss, 09 april 2012 - 11:12

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 april 2012 - 11:20

Neem voor n0 een natuurlijk getal dat strikt groter is dan n' van r = n' √M.

Maar 'r' is een vast getal >1. Dus wat je hier schrijft kun je sowieso niet doen. Maar misschien kun je dat wel aanpassen ;). Wat denk je?

Overigens zijn er uiteraard wel veel verschillende bewijzen voor één en dezelfde stelling. Soms zijn er wel 100 varianten in bewijstechniek gekend voor één stelling. Maar in een cursus is het vaak/meestal het doel van de docent om je technieken te tonen (en aan te leren) die je later, in andere en soms moeilijkere situaties, gaan helpen omdat ze de aangewezen (als in meest eenvoudige) weg wijzen om iets te bewijzen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 april 2012 - 13:07

Maar 'r' is een vast getal >1. Dus wat je hier schrijft kun je sowieso niet doen. Maar misschien kun je dat wel aanpassen ;). Wat denk je? Overigens zijn er uiteraard wel veel verschillende bewijzen voor één en dezelfde stelling. Soms zijn er wel 100 varianten in bewijstechniek gekend voor één stelling. Maar in een cursus is het vaak/meestal het doel van de docent om je technieken te tonen (en aan te leren) die je later, in andere en soms moeilijkere situaties, gaan helpen omdat ze de aangewezen (als in meest eenvoudige) weg wijzen om iets te bewijzen.



Waarom zou je dat niet kunnen doen ? Het gaat toch over de n' die bij de desbetreffende r hoort ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 april 2012 - 13:09

Dus jij zegt dat voor een vaste r en willekeurige M er altijd een n (in N!) bestaat zodat rn = M?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 april 2012 - 13:13

Dus jij zegt dat voor een vaste r en willekeurige M er altijd een n (in N!) bestaat zodat rn = M?


Inderdaad, dit lukt niet, want sommige n'en zouden dan negatief moeten zijn, en dat kan uiteraard niet.

Veranderd door Biesmansss, 09 april 2012 - 13:15

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 april 2012 - 13:22

Okee :). Nu we het daarover eens zijn, denk je dat je bewijs op een manier te redden valt? Bijvoorbeeld door een ongelijkheid ipv gelijkheid.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 april 2012 - 13:42

Ja, nu dat jij het zo zegt ben ik er vrij tot helemaal zeker van dat het bewijs nog te redden valt natuurlijk. :D

In eerste instantie zou mijn keuze dan uitgaan naar:
M < rn0
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 april 2012 - 13:44

Welke volgorde hanteer? Je r is vast, en dan kies je M willekeurig om vervolgens n0 zo te kiezen dat M < rn0?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 april 2012 - 14:19

Welke volgorde hanteer? Je r is vast, en dan kies je M willekeurig om vervolgens n0 zo te kiezen dat M < rn0?


Ja, voor elke, willekeurige gekozen, M bestaat er een n0 zodat M < rn0
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 april 2012 - 14:21

En wat als {rn| n in N} nu naar boven is begrensd en M groter is dan die bovengrens?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 april 2012 - 15:27

En wat als {rn| n in N} nu naar boven is begrensd en M groter is dan die bovengrens?


Maar we willen toch net aantonen dat deze verzameling geen bovengrens heeft ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures