Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 118
Dus, ik zit wat verder in mijn cursus, en ik stuik op volgende vraag:
-Toon aan dat n
3 + (n + 1)
3 + (n + 2)
3 (met n
\(\in \mathbb{N}\)
) deelbaar is door 9.
Ik heb absoluut geen idee hoe ik hieraan moet beginnen. Moet ik dit bewijzen adhv een vergelijking?
A scientist can only generalise with reliable certainty if he has enough statistical information.
-
- Berichten: 7.390
Je zal moeten uitwerken tot je een som van termen krijgt die elk afzonderlijk deelbaar zijn door 9 of tot een factorisatie waarbij er een factor 9 voorop staat.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 7.068
Een mogelijkheid is een bewijs via volledige inductie.
-
- Berichten: 118
Hmm, ik zit nog altijd vast. Mijn kennis ivm veeltermen is wat verroest. Ik staar nu al een tijdje naar de oefening, maar ik heb geen idee hoe het uit te werken.
De term inductie is een vrij nieuw begrip voor me, trouwens...
A scientist can only generalise with reliable certainty if he has enough statistical information.
-
- Berichten: 10.179
Schrijf alles eens gewoon uit. Dus (n + 1)³ = ... en (n + 2)³ =... zodat n³ + (n+ 1)³ + (n + 2)³ = ...
En als je inductie niet kent, vergeet je dat maar
.
-
- Berichten: 4.320
Dat heb ik ook gedaan en dan lukt het, maar ik heb toch het idee dat er een truukje moet zijn zonder dat gezien de mooie vorm:
\((n+0)^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 \)
PS. Dat het een drievoud is kun je uit het hoofd zien.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
-
- Berichten: 10.179
Er is een soort van mooie en korte manier ja. Maar ik denk dat dit eerder middelbaar niveau is, dus lijkt het mij toch het beste om op bovenstaande manier verder te gaan. Op het einde wil ik wel eens zeggen hoe ik het zou doen (maar in se komt dat neer op inductie).
-
- Berichten: 118
Na wat zoeken ben ik op volgende eigenschap terechtgekomen: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Dit maakte het ineens een stuk makkelijker. Uitgerekent bekom ik dit:
(n+1)³ = n³ + 3n² + 3n +1
(n+2)³ = n³ + 6n² + 12n + 8
Dus n³ + (n+ 1)³ + (n + 2)³ = n³ + n³ + 3n² + 3n +1 + n³ + 6n² + 12n + 8
= 3n³ + 9n² + 15n + 9
Dus nu moet ik zeker bewijzen dat n³/3 + n²+ 5n/3 + 1 altijd een geheel getal is?
A scientist can only generalise with reliable certainty if he has enough statistical information.
-
- Berichten: 7.390
Daarmee toon je te eigenschap aan, ja. Je moet enkel de breuktermen nemen.
Inductie is inderdaad wel een formele algemene manier.
Dus n³+5n is deelbaar door 3 voor alle natuurlijke waarden van n.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 10.179
Tja, dat is wat ingewikkelder (maar juist!). Dit is eenvouder: 9n² + 9 is deelbaar door 9, dus dat is okee, rest nog te tonen dat 3n³ + 15n deelbaar is door 9. We kunnen dit ook schrijven als 3n(n² + 5). Dit is zeker deelbaar door 3 en er rest te tonen dat n(n² + 5) deelbaar is door 3. Snap je dit? Kun je dit tonen?
-
- Berichten: 7.390
Verborgen inhoud
Schrijf 5 als 6-1.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 118
Ik snap je stappen, maar niet de hint van In physics I trust.
Kan het zijn dat er 3 mogelijkheden zijn?
A scientist can only generalise with reliable certainty if he has enough statistical information.
-
- Berichten: 10.179
Je hebt een term van de vorm (n-1)(n+1) tussen de haakjes (met de hint van In Physics...). Voluit: n² + 5 = n² - 1 + 6 = (n-1)(n+1) + 6. Stel even dat n niet deelbaar is door 3. Wat weet je dan over n-1 of n+1?
-
- Berichten: 4.320
In physics I trust schreef: ↑wo 11 apr 2012, 14:42
Verborgen inhoud
Schrijf 5 als 6-1.
Ik had:
Verborgen inhoudsubstitueer achter eenvolgens 3p-1 , 3p , 3p+1 in \(n^3+5n\)
Geeft voor alle drie veelvouden.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
-
- Berichten: 10.179
tempelier schreef: ↑wo 11 apr 2012, 14:53
Ik had:
Verborgen inhoudsubstitueer achter eenvolgens 3p-1 , 3p , 3p+1 in \(n^3+5n\)
Geeft voor alle drie veelvouden.
Kan ook, maar is veel moeilijker dan via de hint van IPIT (naar mijn mening).