Springen naar inhoud

Definitie in symbolen i.v.m. limieten van rijen



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 april 2012 - 16:48

Geef de definitie in symbolen voor een:

(1) Rij (Xn) n ∈N die NIET naar 2 convergeert.

(2) Rij (Xn) n ∈N die NIET begrensd is.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(1) ∀ ε > 0, bestaat er geen n0 N, ∀ n N: n ≥ n0 => |Xn - 2| < ε



(2) ∀ M R, ∃ n0 N, ∀ n N: n ≥ n0 => Xn < M ofwel Xn > M


Ik denk persooonlijk aan zoiets, maar ik heb het gevoel dat er ergens iets toch niet helemaal klopt. Iemand enige aanmerkingen ? :D

Dank bij voorbaat!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 april 2012 - 16:50

Een rij die niet naar 2 convergeert. Wat betekent dat in woorden? Dezelfde vraag voor niet begrensd. En ik bedoel dus een intuïtieve omschrijving van wat dat betekent.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 april 2012 - 10:21

Euhm, als ze niet naar twee convergeert ? Intutief zou ik zeggen dat ze dat deze rij naar alles mag convergeren behalve naar 2 (dus ook naar +oo en - oo) en dat ze zelfs mag divergeren.

Voor niet begrensd zou ik nu zeggen dat ze zeker en vast moet divergeren (bv. de rij -2n)
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 april 2012 - 10:27

Euhm, als ze niet naar twee convergeert ? Intutief zou ik zeggen dat ze dat deze rij naar alles mag convergeren behalve naar 2 (dus ook naar +oo en - oo) en dat ze zelfs mag divergeren.

Klopt, maar ik bedoel eerder: stel dat ik je een plot toon van een rij toon, hoe zou jij dan 'zien' dat ze niet naar 2 convergeert?

Voor niet begrensd zou ik nu zeggen dat ze zeker en vast moet divergeren (bv. de rij -2n)

Ik dacht dat convergentie naar oneindig bij jou ook convergentie was? Overigens, er bestaan ook begrensde rijen die divergeren hoor. Maar ik bedoel hier weer het visuele aspect.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 april 2012 - 10:40

Euhm het plot voor de staart.. Wel de staart kan of volledig onder of volledig boven 2 liggen, maar ze kan ook zowel boven als onder twee liggen ( als ze divergeert, maar dan mag ze wel niet steeds dichter naar 2 gaan)

Klopt convergentie naar oneindig is bij mij ook convergentie, maar als een rij naar bv. +oo convergeert, dan is deze toch naar onder begrensd ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 april 2012 - 12:10

Euhm het plot voor de staart.. Wel de staart kan of volledig onder of volledig boven 2 liggen, maar ze kan ook zowel boven als onder twee liggen ( als ze divergeert, maar dan mag ze wel niet steeds dichter naar 2 gaan)

Nog visueler uitgelegd: er moet een 'band' (horizontale strook) rond 2 bestaan waar uw staart niet volledig inligt... Akkoord?

Klopt convergentie naar oneindig is bij mij ook convergentie, maar als een rij naar bv. +oo convergeert, dan is deze toch naar onder begrensd ?

Los van of het klopt of niet, heb je dat bewezen? Anders kun je dat niet gebruiken uiteraard :). Zonee, even doen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 april 2012 - 13:55

Nog visueler uitgelegd: er moet een 'band' (horizontale strook) rond 2 bestaan waar uw staart niet volledig inligt... Akkoord?


Akkoord.

Los van of het klopt of niet, heb je dat bewezen? Anders kun je dat niet gebruiken uiteraard :). Zonee, even doen.


Hoe bewijs ik dat het beste ?
We hebben dus een rij (Xn) n ∈N die naar +oo convergeert. We willen kunnen aantone dat we altijd een infimum kunnen vinden zodat I < Xn voor alle n N.

Veranderd door Biesmansss, 12 april 2012 - 14:03

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 april 2012 - 14:03

Akkoord.

Maak dit iets formeler...

Hoe bewijs ik dat het beste ?
We hebben dus een rij (Xn) n ∈N die naar +oo convergeert. We willen kunnen aantone dat we altijd een infinum kunnen vinden zodat I < Xn voor alle n N.

Je weet dat er een n0 bestaat zodat alle Xn met n groter dan n0 naar onder begrensd worden door, zeg, M. Nu heb je nog eindig veel termen over (namelijk die van X1 (of X0 maar dat doet er niet echt toe) tot en met Xn0). Kunnen die naar -oneindig gaan?

Maar nu: bedoel je met begrensd niet én naar beneden én naar boven begrensd?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 april 2012 - 14:17

∀ ε > 0, ∃ n0 N, ∀ n N: n ≥ n0 => |Xn - 2| > ε

of kan ik beter werken met (2 - ε, 2 + ε) ?

Je weet dat er een n0 bestaat zodat alle Xn met n groter dan n0 naar onder begrensd worden door, zeg, M. Nu heb je nog eindig veel termen over (namelijk die van X1 (of X0 maar dat doet er niet echt toe) tot en met Xn0). Kunnen die naar -oneindig gaan?

Maar nu: bedoel je met begrensd niet én naar beneden én naar boven begrensd?


Ja zo had ik er ook al over gedacht. Nee ze kunnen niet naar oneindig gaan, maar door dat de stellen is dit natuurlijk nog niet bewezen ?

Euhm, goede vraag. Waarschijnlijk bedoelen ze in de cursus wel naar boven en naar beneden begrensd.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 april 2012 - 14:21

∀ ε > 0, ∃ n0 N, ∀ n N: n ≥ n0 => |Xn - 2| > ε

of kan ik beter werken met (2 - ε, 2 + ε) ?

Klopt niet... Stel volgende rij: om de beurt 2 en 3. Dan zal je nooit aan bovenstaande conditie kunnen voldoen.


Ja zo had ik er ook al over gedacht. Nee ze kunnen niet naar oneindig gaan, maar door dat de stellen is dit natuurlijk nog niet bewezen ?

Quasi? Neem nu I = min{X1, ..., Xn0, M}. Dan...

En volgens mij bedoelen ze ook zowel beneden als boven begrensd ;).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 april 2012 - 14:33

Ok, laten we ons eerst en vooral eens ff bezig houden met (1), goed ? :D

Dus we willen zeggen dat:
∀ n0 N, ∃ ε > 0 , ∃ n N: n ≥ n0 => |Xn - 2| > |ε - 2|
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 april 2012 - 14:36

Neen... Wat je wilt uitdrukken is het volgende: er bestaat een strook rond 2 (zeg (2-e, 2+e)) zodat vanaf eender welk punt in de rij ik begin te kijken, er minstens 1 element uit die rij is dat niet in die strook valt. Zie je dat dit betekent dat de rij niet naar 2 convergeert?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 april 2012 - 14:53

Neen... Wat je wilt uitdrukken is het volgende: er bestaat een strook rond 2 (zeg (2-e, 2+e)) zodat vanaf eender welk punt in de rij ik begin te kijken, er minstens 1 element uit die rij is dat niet in die strook valt. Zie je dat dit betekent dat de rij niet naar 2 convergeert?


Ja, ik dacht dat ik dat wel ongeveer zei met

∀ n0 N, ∃ ε > 0 , ∃ n N: n ≥ n0 => |Xn - 2| > |ε - 2|

Voor alle n0 N ( = Vanaf eender welk punt in de rij), bestaat er een willekeurig positief getal, zodat er minstens 1 n is, die groter is dan dit punt waarvan je begon te kijken, waarvoor de afstand van deze Xn tot 2 groter is dan de afstand van dit willekeurig positief getal tot 2

Dus eens proberen uw uitleg wat meer te verwoorden:

er bestaat een strook rond 2 (zeg (2-e, 2+e)) zodat vanaf eender welk punt in de rij ik begin te kijken, er minstens 1 element uit die rij is dat niet in die strook valt.

∀ n0 N, ∃ ε > 0, ∃ n N: n ≥ n0 => Xn ∉ [2 - ε, 2 + ε]


Ja, ik snap waarom dit betekent dat de rij Xn niet naar 2 convergeert, maar het is toch niet zo eenvoudig om dit in symbolen weer te geven.

Veranderd door Biesmansss, 12 april 2012 - 14:54

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 april 2012 - 15:40

Neen... Je komt warm, maar het klopt nog niet. Bekijk de rij 1/n (limiet 0). Kies een willekeurige n0 (voor alle n0) en neem e = 1/(n0 + 10) (er bestaat een e). neem nu n = n0 + 1 (of 0, 2, 3, ..., 9) (er bestaat een n), dan geldt er dat Xn niet ligt in [-e, e].

Hint: de volgorde van kwantoren is belangrijk.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 april 2012 - 18:58

Hhmmm,
∃ ε > 0, ∀ n0 N, ∃ n N: n ≥ n0 => Xn ∉ [2 - ε, 2 + ε]

Dus nu zeggen we dat er een ε bestaat, voor alle n0, zodat we minstens één n kunnen vinden (die groter is dan deze n0) zodat de overeenkomstige Xn niet in de strook ligt ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures