Springen naar inhoud

Oefening i.v.m. limieten



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 april 2012 - 19:44

Geef een voorbeeld van een rij (Xn) n N in R die voldoet aan:

∀ ε > 0, ∃ n0 N, ∀ n N: n ≥ n0 => |Xn + 5| < ε

maar NIET aan:


∃ n0 N, ∀ ε > 0, ∀ n N: n ≥ n0 => |Xn + 5| < ε

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Euhm voldoet de rij:

Xn = -5 + (1 / n)

Hieraan ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 april 2012 - 20:34

Herformulering van de vraag: zoek een rij die naar -5 convergeert, maar die niet ... Kun je aanvullen?

Je zou zelf moeten kunnen nagaan of je rij voldoet. Heb je dat geprobeerd?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 april 2012 - 20:40

Herformulering van de vraag: zoek een rij die naar -5 convergeert, maar die niet ... Kun je aanvullen?

Je zou zelf moeten kunnen nagaan of je rij voldoet. Heb je dat geprobeerd?


"...maar die niet op '-5' blijft hange" allé dat is toch hoe ik de tweede voorwaarde interpreteer.

En daar zal deze rij inderdaad aan voldoen, want ze zal de waarde -5 voor geen enkele Xn bereiken en er dus zeker niet voor de 'rest van de rij op blijven liggen' (je snapt wel wat ik bedoel). :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 april 2012 - 20:53

Maar kun je het ook exact nagaan of ze eraan voldoet?

Maar ik versta inderdaad wat je bedoelt ;).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 april 2012 - 21:06

Maar kun je het ook exact nagaan of ze eraan voldoet?

Maar ik versta inderdaad wat je bedoelt ;).


Goh, exact na gaan of deze eraan voldoet ?

We weten dat Xn enkel gelijk wordt aan '-5' als '1 / n' gelijk wordt aan 0 en dit zal nooit gebeuren ?

Lim 1 / n = 0 maar deze kan nooit effectief 0 worden, enkel 'heel klein'.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 april 2012 - 22:05

Met exact bedoel ik, zoals ik in een paar topics van je al deed, nagaan of je voorstel ook voldoet als je de voorwaarden nagaat. Dus met de epsilon, n0, etcetera.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 april 2012 - 10:16

Met exact bedoel ik, zoals ik in een paar topics van je al deed, nagaan of je voorstel ook voldoet als je de voorwaarden nagaat. Dus met de epsilon, n0, etcetera.


∀ ε > 0, ∃ n0 N, ∀ n N: n ≥ n0 => |Xn + 5| < ε


Kies eender welke willekeurige epsilon (bv. 0.11) dan kunnen we een n0 vinden (nl. 10) zodat voor alle n die groter zijn dan deze n0 de afstand tussen de overeenkomstige Xn-waardes en '-5' kleiner is dan de gekozen epsilon. Wat dus klopte.

∃ n0 N, ∀ ε > 0, ∀ n N: n ≥ n0 => |Xn + 5| < ε


Dit is minder evident ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 14 april 2012 - 16:45

Dat laatste is inderdaad minder evident. Je wilt namelijk dat dat niet geldt. Daarvoor heb je dus de ontkennende bewering nodig. Weet je hoe die te bepalen? Denk eraan dat de ontkenning van 'voor alle' is 'er bestaat'. En zo ga je voort. Interpreteer vervolgens wat dat visueel betekent.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 april 2012 - 09:57

n0 N, ε > 0, n N: n ≥ n0 => |Xn + 5| > ε

Kies een willekeurige n0 (bv. 1) dan is er minstens 1 epsilon (bv. 0.1) zodat er minstens 1 n bestaat, (bv. 2) zodat |-4.5 + 5| > 0.1

Dus ook hieraan is weer (exact) voldaan.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 april 2012 - 15:35

Het idee is er al. Maar om te zien dat iets voldaan is, moet je het ook wel echt algemeen houden. Dus als er staat 'voor alle n0' moet jij ook echt een volledig willekeurige n0 kiezen. Niet zoiets van 'bijvoorbeeld 10'. Kun je het dan ook aantonen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 april 2012 - 17:22

Aanvullend en wellicht wat belachelijk, maar wel illustratief: met 'bijvoorbeeld' bewijs je niets (tenzij het een tegenvoorbeeld betreft). Bewering: "alle kwadraten zijn gelijk aan 4". Bijvoorbeeld: (-2)² = 4. Zelfs ook nog 2² = 4.

Zie je? :mrgreen:
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 april 2012 - 18:28

Het idee is er al. Maar om te zien dat iets voldaan is, moet je het ook wel echt algemeen houden. Dus als er staat 'voor alle n0' moet jij ook echt een volledig willekeurige n0 kiezen. Niet zoiets van 'bijvoorbeeld 10'. Kun je het dan ook aantonen?


Ja, maar omdat je zei 'exact'. :D Als je het dan volledig algemeen houdt, dan doe je toch eigenlijk niets anders dan verwoorden wat er in symbolen al staat ? Daarom dat ik dit ook niet deed.

Aanvullend en wellicht wat belachelijk, maar wel illustratief: met 'bijvoorbeeld' bewijs je niets (tenzij het een tegenvoorbeeld betreft). Bewering: "alle kwadraten zijn gelijk aan 4". Bijvoorbeeld: (-2)² = 4. Zelfs ook nog 2² = 4.

Zie je? :mrgreen:


Haha. :D Ja.

Veranderd door Biesmansss, 15 april 2012 - 18:29

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 april 2012 - 18:30

Wel, je kan er mee lachen maar eigenlijk doe je iets gelijkaardig: met je "bv. 1" voor n0 heb je immers geen "willekeurige n0", maar een welbepaalde n0. Het is niet omdat het voor deze n0 "lukt", dat het voor alle n0 lukt; en net dat moet je tonen. Je mag er dus geen concrete waarde aan hechten, je moet - "in het algemeen" zoals dat dan heet - tonen dat het voor elke n0 opgaat.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 april 2012 - 18:39

Wel, je kan er mee lachen maar eigenlijk doe je iets gelijkaardig: met je "bv. 1" voor n0 heb je immers geen "willekeurige n0", maar een welbepaalde n0. Het is niet omdat het voor deze n0 "lukt", dat het voor alle n0 lukt; en net dat moet je tonen. Je mag er dus geen concrete waarde aan hechten, je moet - "in het algemeen" zoals dat dan heet - tonen dat het voor elke n0 opgaat.


Ja, maar hoe kan je dat hier in het algemeen aantonen ? Dan moet je het al gaan bewijzen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 april 2012 - 18:46

Ik heb je topics hiervoor niet grondig gevolgd, maar heb je het "wél bestaan" van limieten via de definitie niet ook al bewezen? Dus bv. tonen dat er voor elke epsilon een n (evt. afhankelijk van epsilon) bestaat zodat...

Het gaat inderdaad om een "bewijs", tenzij een soort van intuïtieve redenering bij deze opgave volstaat voor je docent of ...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures