Beoordeel volgende uitspraken. Als ze waar zijn, bewijs je de uitspraken; zo niet, geef je een tegenvoorbeeld.
a) Als een rij begrensd is, dan is ze naar boven begrensd.
b) Als een rij naar boven begrensd is, dan is ze begrensd.
c) Als een rij naar boven en naar onder begrensd is, dan is ze begrensd.
d) Iedere begrensde rij is convergent (heeft een eindige limiet).
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
a) Waar. Indien een rij begrensd is, dan is ze naar boven begrensd. Maar toch ook naar onder, of niet ?
Zij Xn een rij met limiet a, dan volgt uit de definitie van een limiet van een rij dat we een n0 ∈ N kunnen vinden zodat voor alle n ≥ n0 geldt dat:
|Xn - a| < 1
Voor alle n ≥ n0 zal gelden dat:
|Xn| = |(Xn - a) + a| ≤ |Xn - a| + |a| ≤ 1 + |a|
stel nu
M = Max{|X0|, |x1|, ...|Xn0-1|, 1 + |a|}
Per constructie is nu |Xn| ≤ M
Hiermee is bewezen dat een rij met een eindige limiet naar boven is begrensd, maar nog niet dat een divergerende rij naar boven is begrensd ?
b) Niet waar. De rij Xn = -n is naar boven begrensd, maar de limiet is toch -oo.
c) Waar.
Als een rij naar boven begrensd is, bestaat er een M ∈ R+ zodat Xn < M voor alle n ∈ N. (1)
Als een rij naar beneden begrensd is, bestaat er een m ∈ R- zodat Xn < m voor alle n ∈ N. (2)
Uit (1) en (2) volgt per definitie dat de rij Xn noch naar +oo, noch naar -oo kan gaan en dat ze bijgevolg wel begrensd moet zijn.
Maar ook hier weer heb ik een probleem met "wat als de rij divergeert naar oneindig in de aard van (-2)n" ?
d) Niet waar. bv. (-1)n
Laatste berichten
-
23:25
2013 – Augustus Vraag 3
-
23:07
Rood laserlicht 2
-
23:04
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 5
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
12:51
positie 2
-
10:44
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
23 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
[wiskunde] bewijzen i.v.m. limieten van rijen
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 1.201
bewijzen i.v.m. limieten van rijen
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: bewijzen i.v.m. limieten van rijen
Je intuïtie ivm waar/niet waar klopt. Je verwoording kan beter. Begin eens met a). Je moet bewijzen dat als een rij begrensd is, ze ook naar boven begrensd is. Wat weet je dus? En wat moet je bewijzen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: bewijzen i.v.m. limieten van rijen
We willen bewijzen dat wanneer een rij Xn begrensd is we altijd een M ∈ R kunnen vinden zodat Xn < M voor alle n ∈ N.
Als we weten dat een rij begrensd is, kan deze convergeren of divergeren, maar kan deze niet naar +oo / -oo gaan.
Als we weten dat een rij begrensd is, kan deze convergeren of divergeren, maar kan deze niet naar +oo / -oo gaan.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: bewijzen i.v.m. limieten van rijen
Je hebt toch wel een échte definitie voor begrensdheid van een rij?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: bewijzen i.v.m. limieten van rijen
Euhm, in de cursus ben ik die toch nog niet tegen gekomen.
Ik zou zeggen:
∃ M ∈ R+, ∀ n ∈ N: |Xn| < M
Ik zou zeggen:
∃ M ∈ R+, ∀ n ∈ N: |Xn| < M
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 24.578
Re: bewijzen i.v.m. limieten van rijen
Dat is inderdaad een mogelijke definitie. Je hebt wel definities van 'begrensd' en van 'naar boven begrensd' nodig als je er implicaties tussen wil bewijzen, natuurlijk...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 10.179
Re: bewijzen i.v.m. limieten van rijen
Zoals TD aangeeft, is dat een mogelijkheid. Kun je zo zien dat het triviaal is eigenlijk?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: bewijzen i.v.m. limieten van rijen
Ja, ik zie dat het vrij triviaal is. Maar hiermee is het nog neit echt bewezen ofwel ?
En dan geldt het volgende toch ook:
∃ m ∈ R-, ∀ n ∈ N: -|Xn| < m
Waardoor we weten dat de rij dan ook automatisch naar onder begrensd is.
En dan geldt het volgende toch ook:
∃ m ∈ R-, ∀ n ∈ N: -|Xn| < m
Waardoor we weten dat de rij dan ook automatisch naar onder begrensd is.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 1.201
Re: bewijzen i.v.m. limieten van rijen
Dit hangt volgens mij trouwens zeer sterk samen met een volgende vraag in mijn cursus (daarom dat ik het stom vind om hier een nieuwe thread voor aan te maken):Biesmansss schreef: ↑zo 15 apr 2012, 11:57
Ja, ik zie dat het vrij triviaal is. Maar hiermee is het nog neit echt bewezen ofwel ?
En dan geldt het volgende toch ook:
∃ m ∈ R-, ∀ n ∈ N: -|Xn| < m
Waardoor we weten dat de rij dan ook automatisch naar onder begrensd is.
Toon aan: als een rij (Xn) n ∈ N een rij is waarvoor Lim Xn = +oo, dan is de rij (Xn) n ∈ N niet begrensd.
Hiervoor zou ik dan gewoon zegge:
Wanneer een rij begrensd is weten we dat:
∃ M ∈ R+, ∀ n ∈ N: |Xn| < M (1)
We kunnen dus een M vinden zodat |Xn| < M, door de definitie van een limiet van een rij gaan naar oneindig weten we ook dat we:
∀ M ∈ R+, ∃ n0 ∈ N, ∀ n ∈ N: n ≥ n0 => M < |Xn| (2)
Wat natuurlijk tegenstrijdig is met (1). Waardoor we weten dat als (2) klopt, (1) niet mogelijk is. En dus het bovenstaande aangetoond is ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: bewijzen i.v.m. limieten van rijen
Wat is voor jou een bewijs?Biesmansss schreef: ↑zo 15 apr 2012, 11:57
Ja, ik zie dat het vrij triviaal is. Maar hiermee is het nog neit echt bewezen ofwel ?
En voor er extra vragen bij te halen: je hebt al een a), b), c) en d) open staan. Zullen we eerst deze doen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: bewijzen i.v.m. limieten van rijen
Ja, we zullen eerst en vooral deze doen.Drieske schreef: ↑zo 15 apr 2012, 16:33
Wat is voor jou een bewijs?
En voor er extra vragen bij te halen: je hebt al een a), b), c) en d) open staan. Zullen we eerst deze doen?
Euhm, een bewijs is voor mij (om het zo maar losjes proberen te verwoorden):
Aan de hand van mathematische zekerheden (bv. voordien bewezen definities, etc...) aantonen dat 'iets' in het algemeen (dus bv. voor alle willekeurige reële getallen) standvast klopt.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: bewijzen i.v.m. limieten van rijen
Dat is ook wat je moet doen... Ik zal dit voordoen (aan jou om na te gaan of ik ergens te rap overga). We weten dat er een M bestaat zodat |Xn| < M voor alle n. Wegens de definitie van absolute waarde weten we dan ook dat Xn < M. Bijgevolg is de rij Xn begrensd.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: bewijzen i.v.m. limieten van rijen
Euhm, ik zou het in het geheel een beetje anders:Drieske schreef: ↑zo 15 apr 2012, 16:44
Dat is ook wat je moet doen... Ik zal dit voordoen (aan jou om na te gaan of ik ergens te rap overga). We weten dat er een M bestaat zodat |Xn| < M voor alle n. Wegens de definitie van absolute waarde weten we dan ook dat Xn < M. Bijgevolg is de rij Xn begrensd.
We weten dat de rij (Xn) n ∈ N begrensd is, dus geldt de volgende definitie:
∃ M ∈ R+, ∀ n ∈ N: |Xn| < M
We weten dus dat we een M ∈ R+ kunnen vinden zodat |Xn| < M
Wat equivalent is met:
-M < Xn < M
Bijgevolg is M (-M) een bovengrens (ondergrens), (zeker) niet noodzakelijk de kleinste; maar het toont toch aan dat de rij (Xn) n ∈ N naar boven (beneden) begrensd is. Waardoor het bovenstaande is bewezen!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: bewijzen i.v.m. limieten van rijen
Wat is daar anders aan? Dat is wat ik zei, maar over meer regels verspreid (en met wat meer tussenwoorden) 
.
.Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: bewijzen i.v.m. limieten van rijen
Drieske schreef: ↑zo 15 apr 2012, 18:46
Wat is daar anders aan? Dat is wat ik zei, maar over meer regels verspreid (en met wat meer tussenwoorden)
Haha, ja dat is waar Dries; maar op uw manier ga je precies over alles snel over eh, wat natuurlijk subjectief is.
En ik vermoed da we 'C' ongeveer op dezelfde manier kunnen bewijzen ?The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
