Badshaah schreef: ↑zo 15 apr 2012, 19:45
x is reeel ja, maar waarom klopt het dan alvast niet? en bij de limieten bedoel ik steeds van boven naar nul naderend (
\(x\downarrow 0\)
).
Maar dat heb je niet gezegd/vermeld. Voor de eerste limiet (met x reëel) is het dan in orde, maar wat betekent "van boven" in het tweede geval? Als x daar complex is, gaat dat niet eens zomaar. Als x nog steeds reëel is, hoe kom je dan aan de laatste overgang? Je bent hier in elk geval onzorgvuldig zaken aan het 'mengen'.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Ik schrijf nog een keer de limieten uit voor de duidelijkheid (met ''van boven'' bedoel ik dat x naar nul nadert vanaf positieve x):
\(\lim_{x\downarrow 0}\frac{i}{x}=i\infty\)
Hier is x reeel. Wat ik hier doe is eigenlijk de eerste limiet vermenigvuldigen met het imaginaire getal i. Vervolgens vermenigvuldig ik met 1. In dit geval is dat i/i :
Aangezien -1/i = -i/i² = -i/(-1) = i; consistent met wat je eerder vond.
Maar waarom zou 1/(ix) naar +oneindig (reëel?!) gaan met x (langs rechts/boven) naar 0?
Voor x reëel en k positief én reëel, gaat 1/(kx) ook naar +oneindig met x (langs rechts/boven) naar 0; maar als die k negatief of zelfs niet reëel is (zoals in het geval van i), waarom zou dat dan nog steeds gelden? Met k reëel maar negatief geldt het zelfs al niet meer.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Oke ik snap het al. Ik dacht als je 0 vermenigvuldigt met die i dat die gewoon wegvalt, maar dat gebeurt dus niet. In ieder geval is het duidelijk, bedankt.
De limieten waarvan sprake was waren ook linker- en rechterlimieten (x naar 0 met x positief/negatief) en dat heeft alleen maar zin als x reëel is. Het is niet omdat je binnen de complexe getallen werkt, dat je geen reële getallen (die zitten er immers ook in...) kan beschouwen. Het is wel wat 'vaag' om dingen te beginnen mengen, iets waarvoor ik ook eerder al waarschuwde.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
