Springen naar inhoud

meerdere bases voor hetzelfde span


  • Log in om te kunnen reageren

#1

CaroWis

    CaroWis


  • >25 berichten
  • 26 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 april 2012 - 12:21

Ik vraag me het volgende af:

De basis van een span wordt gevormd door vectoren bescheven door de kolommen met een pivotpositie.
Hoe kan je bepalen of een basis met andere vectoren dan de pivotkolommen ook een basis van het span vormt?

Alvast bedankt voor de hulp!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Puntje

    Puntje


  • >250 berichten
  • 316 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 april 2012 - 15:57

Ik heb niet veel verstand ervan, maar ik doe een poging.

De basis die je hebt is een set kolommen die lineair onafhankelijk zijn (pivotkolommen). Dit is in feite een uitgedunde set kolommen die toch dezelfde deelruimte opspant als de originele set kolommen.

Als je een andere set lineair onafhankelijke kolommen neemt, dan is dit dus een basis van een andere deelruimte. Je kunt wel kijken of de andere vectoren wel in de span zitten, maar zijn dan dus linear afhankelijk van de basis die je al hebt. En behoren daardoor per definitie niet in je basis.

Iemand moet dit wel even bevestigen.

#3

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 16 april 2012 - 17:54

Ik snap je uitleg niet erg goed. Bovendien bevat hij ook wel wat fouten (als ik hem juist interpreteer). Je hebt dus een span. Deze span dun je uit tot een basis, bijvoorbeeld, met het vegen van rijen/kolommen. Jouw vraag is nu hoe je, gegeven een andere basis, kunt weten of deze dezelfde ruimte voortbrengt als je eerste basis... Laat ik je basissen namen geven. Zeg V = {v1, ..., vn} is je eerste basis en W = {w1, ..., wm} is je tweede basis. Ten eerste moet je dan al gaan kijken naar de dimensie van je ruimtes voortgebracht door V en W. Die van V heeft dimensie n en die van W dimensie m. Als dus m en n niet hetzelfde (natuurlijk) getal zijn, brengen ze sowieso al een andere ruimte voort (want verschillende dimensies). Veronderstel nu dus dat m=n. Je weet dat voor een willekeurig element in (de ruimte voortgebracht door) V geldt dat er a's bestaan zodat: v = a1v1 + ... + anvn. We zouden nu willen nagaan of er b's bestaan zodat: v = b1w1 + ... + bmwm (bedenk dat m=n!). Stel nu dat ik elke basisvector vi kan schrijven als een lineaire combinatie van de w1 tot en met wm. Dus: vi = c1i w1 + ... + cmiwm. Kan dit? Waarom wel/niet? Als het kan: is dan je vraag beantwoord?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#4

CaroWis

    CaroWis


  • >25 berichten
  • 26 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 april 2012 - 22:37

Waarom het wel/niet kan zou ik eigenlijk niet weten? Waarschijnlijk omdat de vermenigvuldiging met een constante geen invloed op de richting heeft, maar alleen op de lengte van de vector.

Ik heb het vraagstuk waarin ik vastliep er bij gepakt om te kijken of ik vi kan schrijven als een lineaire combinatie van de w1 tot en met wm

H= Span
1 2 3 4
2 4 4 2
-2 -4 -3 1
0 0 1 3

De vraag was vormen B en C een basis voor H
B=
1 3
2 4
-2 -3
0 1

Wanneer ik H naar echelonvorm veeg dan zie ik dat de eerste en derde kolom een pivot bevatten. De eerste en derde kolom vormen dus samen de basis van H. Dit zijn de kolommen van B waardoor dit dus een basis is.

C=
4 2
6 2
-5 -1
1 1

Als ik de eerste kolom van C w1 noem en de tweede kolom van w2 dan kan ik de kolommen van B als volgt berekenen.

1/2 wi - 1/2 w2 = eerste kolom van B
1/2 wi + 1/2 w2 = tweede kolom van B

De kolommen van B zijn dus uit te drukken als lineaire combinatie van de kolommen van C. Dus mag ik dan concluderen dat ook de kolommen van C een basis vormen voor H?

#5

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 16 april 2012 - 22:42

Wat ik je vroeg, is een veralgemening van de situatie die je hebt. Snap je jouw situatie, zou die ook moeten lukken. Dus laten we eerst de jouwe bekijken. Wat denk je zelf ervan? Wanneer vormt C een basis voor de ruimte? Gebruik wat je weet over B en het verband met C...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#6

CaroWis

    CaroWis


  • >25 berichten
  • 26 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 april 2012 - 07:38

C vormt een basis voor H als C een lineair onafhankelijke verzameling is in H die H opspant.

B is de verzameling van alle lineaire combinaties van de kolommen van H.
Dus C zou ook de verzameling van alle lineaire combinaties van de kolommen van H moeten zijn om een basis van H te kunnen zijn.

Als je met de kolommen van C, B kan uitdrukken, kan je ook alle andere lineaire combinaties van die in het span liggen maken.

In het geval van het voorbeeld zijn de kolommen van C lineair onafhankelijk (want geen veelvoud van elkaar), en de dimensie is gelijk aan de dimensie van B. Tot slot is het mogelijk om met de kolommen van C de kolommen van B uit te drukken, dus ook alle andere lineaire combinaties van de kolommen van H. Dus vormt C een basis voor H?

#7

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 april 2012 - 08:47

Je uitleg klopt :). En C is dus inderdaad ook een basis voor H.

Kun je nu ook het algemener geval uitleggen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#8

CaroWis

    CaroWis


  • >25 berichten
  • 26 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 april 2012 - 09:17

W is in het algemene geval ook een basis, als met behulp van de kolommen van W, V is uit te drukken.
Als V={v1, ..., vn} en W = {w1, ..., wm} dan is de eerste voorwaarde dat n=m

daarnaast moet het volgende mogelijk zijn (dus om de kolommen van V te beschrijven als lineaire combinatie van de kolommen van W)
v1= c1*w1 + c2*w2+ .......+cm*wm
v2 = c1*w1 + c2*w2+ .......+cm*wm
vn = c1*w1 + c2*w2+ .......+cm*wm

Dus als er (verschillende) waarden van c zijn waarvoor het bovenstaande mogelijk is, dan is ook W een basis.

#9

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 april 2012 - 09:55

Moet je voor elke vi dezelfde c's gebruiken, of mag dat voor elke vi een andere set van c's zijn? Of bedoel je dat met '(verschillende)'?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#10

CaroWis

    CaroWis


  • >25 berichten
  • 26 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 april 2012 - 10:13

de c's mogen per vi een andere set zijn. Dat probeerde ik inderdaad met "verschillende" te zeggen.

#11

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 april 2012 - 11:38

Dan is het goed :). Dat klopt dus inderdaad dan. Verifiëren dat alles klopt, lukt wel?

Overigens kun je hiermee nu begrippen als "matrix van basisverandering" introduceren, maar ik weet niet wat jouw voorkennis is...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#12

CaroWis

    CaroWis


  • >25 berichten
  • 26 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 april 2012 - 11:50

Deze stof is onderdeel van het vak Lineaire Algebra I op de TU Delft.
In de oefententamens kwam ik deze vraag tegen. In mijn beleving bestond de basis altijd uit de kolommen die de kolomruimte vormen.
Waarschijnlijk had ik met behulp van de definities van de basis en kolomruimte in moeten zien dat er meer dan een basis kan zijn. (wat ik nu wel begrijp).

Van 'matrix van basisverandering' heb ik nog nooit gehoord. Maar na even speuren in mijn boek zie ik dat het in een later hoofdstuk aan bod komt. Dus waarschijnlijk wordt het volgende periode geintroduceerd.

Bedankt voor je hulp en scherpe vragen!

#13

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 april 2012 - 12:09

Volgens mij was het inderdaad de essentie om te testen of studenten in kunnen zien dat een basis van een ruimte niet iets unieks moet zijn. En uiteraard graag gedaan :). Veel succes nog verder!
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures