[wiskunde] bewijs i.v.m. limieten van rijen

Biesmansss

Zij (Xn) n _∈ N een rij in R die convergeert naar 2 en waarbij Xn ≠ 0 voor alle n _∈ N. Stel Yn = 1 / (2Xn) voor alle n _∈ N. Wat is de limiet van de rij (Yn) n _∈ N ?

Bewijs je antwoord m.b.v. de definitie van een limiet van een rij.

Hint: Toon eerst aan dat er een n0 _∈ N bestaat zodat ∀ n ≥ n0: ( 1 / |Xn| ) < 1

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Om aan te tonen dat ∀ n ≥ n0: ( 1 / |Xn| ) < 1 volstaat het volgens mij om aan te tonen dat indien de Lim Xn = 2, de Lim 1 / |Xn| = 1 / 2.

We willen aantonen dat er een n' _∈ N bestaat zodat | 1 / Xn - 1 / 2 | < ε; voor alle indices n ≥ n'

We weten dat:

| 1 / Xn - 1 / 2 | = | (2 - Xn) / (2.Xn) | = (1 / | 2. Xn |) . |Xn - 2|

Aangezien de Limiet van Xn = a, bestaat er een n1 zodat |Xn - 2| < 2ε voor alle

n ≥ n1.

We weten dat Lim Xn = 2, dus kunnen we |Xn| > 1 vanaf een bepaalde index n2.

Neem nu n' ≥ max{n1, n2}. Kies nu een willekeurige n ≥ n', dan volgt:

(1 / | 2. Xn |) . |Xn - 2| < (1 / 2) . 2ε = ε

Aangezien dus bewezen is dat de Lim 1 / |Xn| = 1 / 2 weten we ook dat er een

n0 _∈ N bestaat zodat ∀ n ≥ n0: ( 1 / |Xn| ) < 1.

We weten dat Lim A. Xn = A Lim Xn (indien A _∈ R)

Hieruit volgt dat:

Lim 1 / (2Xn) = (1/2) Lim 1 / Xn = (1/2) . (1 / 2) = 1 / 4

Waardoor bewezen is dat de Lim Yn = 1 / 4

Mijn vraag is dus:

Is dit bewijs correct ?

TD

Ik snap niet goed waarom de omweg via die hint nodig is. Door te bewijzen dat 1/X(n) naar 1/2 convergeert heb je het resultaat van de 'hint' ook, maar ben je zelfs al verder (zoals je ook doet). Als je daarnaast inderdaad mag steunen op k*X(n) convergeert naar k keer de limiet van X(n), dan ben je zelfs klaar en kan je de hint moeilijk een 'tussenstap' noemen.

Biesmansss

TD schreef: ↑ma 16 apr 2012, 14:09
Ik snap niet goed waarom de omweg via die hint nodig is. Door te bewijzen dat 1/X(n) naar 1/2 convergeert heb je het resultaat van de 'hint' ook, maar ben je zelfs al verder (zoals je ook doet). Als je daarnaast inderdaad mag steunen op k*X(n) convergeert naar k keer de limiet van X(n), dan ben je zelfs klaar en kan je de hint moeilijk een 'tussenstap' noemen.

Ja, zo dacht ik er ook over.

Maar de opgave was letterlijk overgenomen uit mijn cursus.

Bedankt om er eens naar te kijken Tom!

TD

Het is een specifieke opgave van een meer algemeen resultaat: als X(n) naar L convergeert en als L verschilt van 0. dan convergeert 1/X(n) naar 1/L. Ook dat is eventueel (in het algemeen) met de definitie te bewijzen - maar dat is een beetje subtieler.

Biesmansss

TD schreef: ↑ma 16 apr 2012, 14:45
Het is een specifieke opgave van een meer algemeen resultaat: als X(n) naar L convergeert en als L verschilt van 0. dan convergeert 1/X(n) naar 1/L. Ook dat is eventueel (in het algemeen) met de definitie te bewijzen - maar dat is een beetje subtieler.

Ja, ik had dit al eens algemeen bewezen om aan te tonen dat Lim Xn / Yn = Lim Xn / Lim Yn.

Biesmansss

Extra vraag:

Zij (Xn) n _∈ N een rij in R met Lim Xn = -oo. Veronderstel dat (Yn) n _∈ N een rij is zo dat Yn + 1 ≤ 3Xn voor alle n _∈ N. Bestaat dan de limiet van de rij (Yn) n _∈ N ? Bewijs je antwoord m.b.v. de definitie van limiet van een rij.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ik zou dit op de volgende manier proberen te bewijzen:

We weten dat Lim 3 Xn = 3 Lim Xn = 3 . -oo = -oo

We weten ook dat Yn ≤ Yn + 1

Bijgevolg is:

Yn ≤ 3Xn

Aangezien de Lim 3Xn = -oo, weten we uit de definitie van de limiet van een rij dat wanneer we een willekeurig m _∈ R kiezen, we altijd een n0 _∈ N kunnen vinden zodat 3Xn < m; voor alle indices n ≥ n0.

Uit het gegeven Yn ≤ 3Xn volgt dat:

Yn ≤ 3Xn < m

Bijgevolg is de Lim Yn = -oo

Klopt dit bewijs ook ? Vooral de eerste redeneringen van 'Yn ≤ Yn + 1' enz.

TD

Ja, ziet er oké uit.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] bewijs i.v.m. limieten van rijen

bewijs i.v.m. limieten van rijen

Re: bewijs i.v.m. limieten van rijen

Re: bewijs i.v.m. limieten van rijen

Re: bewijs i.v.m. limieten van rijen

Re: bewijs i.v.m. limieten van rijen

Re: bewijs i.v.m. limieten van rijen

Re: bewijs i.v.m. limieten van rijen