Springen naar inhoud

Bewijs som convergente rijen in R^n



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 april 2012 - 13:31

Toon aan met behul >p van de definitie van convergentie dat de som van twee convergente rijen in Rn opnieuw convergent is en dat de limiet van de som gelijk is aan de som van de limieten.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bewijs

Defintie convergente rij in Rn:

∀ε > 0, ∃ k0 N, ∀ k N: k ≥ k0 => || Xk - a || < ε

Stel:

Lim Xk = a

Lim Yk = b

Het volstaat om te bewijzen dat:

∀ε > 0, ∃ k0 N, ∀ k N: k ≥ k0 => || (Xk - Yk) - (a - b) || < ε

Aangezien de Lim Xk = a, weten we dat er een k1 N bestaat zodat
|| Xk - a || < ε / 2 (1)

Aangezien de Lim Yk = a, weten we dat er een k2 N bestaat zodat
|| Yk - b || < ε / 2 (2)

Neem nu k0 ≥ max{k1, k2}.
Uit (1) en (2) volgt dan:

|| (Xk - Yk) - (a - b) ||
= || (Xk - a) - (Yk - b) || ≤ || Xk - a || + || Yk - b || < (ε / 2) + (ε / 2) = ε

Waardoor het bovenstaande bewezen is!

Mijn vraag is dus of dit bewijs klopt; meer specifiek vraag ik mij af of de stap
in het rood wel klopt/mag ?

Dank bij voorbaat! :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 april 2012 - 13:41

Het volstaat om te bewijzen dat:

∀ε > 0, ∃ k0 N, ∀ k N: k ≥ k0 => || (Xk + Yk) - (a + b) || < ε

De minnetjes moeten plusjes zijn (blauw), het gaat toch om de somrij en die convergeert dan ook naar de som van de limieten...

|| (Xk + Yk) - (a+ b) ||
= || (Xk - a) + (Yk - b) || ≤ || Xk - a || + || Yk - b || < (ε / 2) + (ε / 2) = ε

Aanpassingen in het blauw.

Verder oké!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 april 2012 - 18:17

Waarom mag ik er zeker van zijn dat deze ongelijkheid ook blijft gelden wanneer ik werk met normen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 april 2012 - 22:30

Dat zit in de definitie van een norm.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures