Springen naar inhoud

Markovketen gokprobleem


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 april 2012 - 18:36

Hallo,
hopelijk kan iemand mij helpen met het volgende (ik heb morgen een tentamen hierover maar snap dit nog niet helemaal):
Je hebt een gokker: Per spel, zet hij 1 euro in, en kan met kans 0,6 0euro terug krijgen en met kans 0,4 2euro terug. Als hij geen geld meer heeft, stop hij met spelen. Nu begint hij met 10 euro. (zijn bedrag kan oneindig groot worden)

- Wat is het verwachte aantal malen dat de gokker kan spelen voordat zijn geld op is? In mijn boek staat een formule, maar daarbij is het een simpel voorbeeld, waarbij je met 1 euro start, en bij 2 euro ook weer stopt (daar verlies of win je een euro geloof ik). Ze gaan in elk geval sommeren over alle mogelijke k: E(M, |X_0 =1, X_1=k) (wat ze dan doen door: (M= tijdstip waarop je geen geld meer hebt) E(M|X_1=0)P(X_1=0)+E(M|X_1=1)P(X_1=1)E(M|X_1=2)P(X_1=2). dan invullen en vergelijking oplossen, snap ik. Maar hoe zit dat in mijn geval? Als ik het probeer uit te schrijven kan ik oneindig doorgaan, doordat je telkens hebt dat je vanuit 10 naar 9 en 11 kan, en dan moet je dat weer uitschrijven, doordat je die dingen ook allemaal niet en van 11 kan je naar 12 etc.)

- lim(n-> oneindig) P(X_n=j|X_0=10) voor j=0,1,2..
Ik weet dat er een formule is om de kans te bereken dat startende vanuit i, je N bereikt: (1-(q/p)^i) / (1-(q/p)^N) . Kan ik nu zeggen, ik start vanuit 10, dus i=10 en voor N neem ik j? (q=0,6; p=0,4)

- Als ik wil weten wat het verwachte kapitaal is na 2 spelen, is daar een 'regel' voor , of is dat gewoon uitrekenen: Je hebt 10, kans van 0,6 op 9 en 0,4 op 11 dus na 1 spel: 0,6x9+0.4x11=9.8. Dan na 2 spelen, kans van 0,6 op 8.8 en 0.4 op 10.8 => 0,6x8.8+0,4x10.8 . Dit lijkt mij namelijk heel lastig als je wilt weten wat het verwachte kapitaal is na bv 15 spelen (of nog meer!).

Alvast heel erg bedankt, als iemand misschien iets weet van mijn vragen.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 april 2012 - 08:58

Het verwachte kapitaal na twee keer spelen is simpel uit te rekenen. Je hebt of 2x verloren (0.6*0.6 = 0.36), of 2x gewonnen (0.4*0.4 = 0.16) of 1x gewonnen en 1x verloren (2*0.4*0.6 = 0.48). De verwachtingswaarde is dan dus gewoon rekenen.

De eerste vraag zou ik alsvolgt benaderen: Om op 0 uit te komen moet je tenminste 10x verliezen. Elke keer dat je wint, moet je ook verliezen (anders kom je niet op 0 uit). Je kan nu de kans uitrekenen dat je in (10+2*k) stappen verloren hebt.
LaTeX
waarbij de -1 nodig is omdat de laatste stap altijd verlies moet zijn. Met deze kans kan je de verwachtingswaarde berekenen.

Wat je ook zou kunnen doen is de verwachtingswaarde berekenen van het aantal potjes dat nodig is om 1 euro te verliezen (je stopt dus na 1 euro verlies ten opzichte van je startkapitaal). De verwachtingswaarde voor 10 euro verlies is dan 10x de verwachtingswaarde voor 1 euro verlies.

#3

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 april 2012 - 21:01

De formule voor de kans die ik hierboven gaf klopt niet. Ik heb geen rekening gehouden met dat in elke reeks het aantal keer winst vanaf het begin groter moet zijn dan het aantal keer verlies.

#4

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 april 2012 - 07:36

Een methode die wel werkt: LaTeX is het verwachte aantal spellen dat gespeeld wordt om van startkapitaal i tot kapitaal j te komen. Dan kan je zeggen:
LaTeX
Er is geen verschil tussen de verwachtingswaarde van het aantal spellen om van 2 naar 1 euro te komen en het aantal spellen om van 1 naar 0 euro te komen, dus:
LaTeX
LaTeX

Het aantal verwachte spellen met een startkapitaal van 10 euro is nu simpel te berekenen. Je kan dit antwoord ook controleren met een stukje Octave (Matlab) code:
c=0;
N = 1000;
for i = 1:1:N,
	s = 10;
	while (s > 0),
   	 c=c+1;
   	 if rand(1) < 0.6,
	   		 s=s-1;
   	 else
	   		 s=s+1;
   	 end
	end
end
c/N
Dit geeft hetzelfde antwoord.

#5

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 april 2012 - 08:03

Een methode die wel werkt: LaTeX

is het verwachte aantal spellen dat gespeeld wordt om van startkapitaal i tot kapitaal j te komen. Dan kan je zeggen:
LaTeX
Er is geen verschil tussen de verwachtingswaarde van het aantal spellen om van 2 naar 1 euro te komen en het aantal spellen om van 1 naar 0 euro te komen, dus:
LaTeX
LaTeX

Het aantal verwachte spellen met een startkapitaal van 10 euro is nu simpel te berekenen. Je kan dit antwoord ook controleren met een stukje Octave (Matlab) code:
c=0;
N = 1000;
for i = 1:1:N,
	s = 10;
	while (s > 0),
   	 c=c+1;
   	 if rand(1) < 0.6,
	   		 s=s-1;
   	 else
	   		 s=s+1;
   	 end
	end
end
c/N
Dit geeft hetzelfde antwoord.

Bedankt! Ik geloof dat ik het wel begrijp :)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures