Springen naar inhoud

Index, quotiŽntgroep



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 april 2012 - 19:07

Hallo,
Mijn laatste tentamen over dit onderwerp ging niet zo goed, dus daarom ben ik alles nog even aan het doornemen om te kijken wat ik niet begrijp.

---

Zij LaTeX met LaTeX

a) Laat zien dat LaTeX een ondergroep is van LaTeX .

Nou, G is sowieso niet leeg, want die bevat onder andere het eenheidselement LaTeX . Stel nu dat x en y twee elementen uit G zijn, dan:
LaTeX . Dus LaTeX , want LaTeX en LaTeX .
En:
LaTeX en dat zit ook weer in G.

Dit klopt?

b) Laat zien dat LaTeX gegeven door LaTeX een surjectief homomorfisme is, waarbij LaTeX de productgroep is.

Allereerst toon ik aan dat het een homomorfisme is:
LaTeX

LaTeX
Dus een homomorfisme.

Het is ook surjectief, want elke LaTeX kan gedefinieerd worden door elke oneven b als LaTeX en een even b als LaTeX , Dit moet ik vast nog netjes bewijzen, alleen weet ik niet hoe ik dit kan opschrijven.

c) Bepaal het centrum LaTeX en de commutatorondergroep LaTeX van LaTeX .

Er geldt: LaTeX voor alle LaTeX
Dus dat betekent:
LaTeX
En dat komt neer op LaTeX en dit lijkt me enkel mogelijk voor LaTeX en LaTeX . Dus het centrum bestaat enkel uit de eenheidsmatrix. Klopt dit?

De commutatorondergroep.wordt voortgebracht door de commutatoren:
LaTeX . Ik weet niet hoe ik hier verder mee moet. Het levert een matrix op en dan?

d) Wat is de index LaTeX van LaTeX in LaTeX ? Bepaal ook van elk element in de quotiëntgroep G/[G, G] de orde.
De index is van [G, G] in G is de cardinaliteit van een volledig stelsel van representanten van de linkernevenklassen van [G, G] in G.
Een linkernevenklasse is een deelverzamling van de vorm:
LaTeX . Maar hier loop ik nu verder op vast. Wat moet ik nu doen?


Alvast bedankt!

Veranderd door Fruitschaal, 17 april 2012 - 19:08


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 april 2012 - 11:11

Je oplossing van a) klopt. Bedenk je eventueel nog dat LaTeX . Dat maakt de notatie lichter.

Bij b) ben je juist begonnen. In een ander topic hebben we surjectiviteit van een zeer gelijkaardige afbeelding onderzocht. Hier werkt het niet anders... Lukt het nu?

Volgens mij klopt je centrum alvast. Maar echt bewezen heb je dat niet. Ik weet uiteraard niet hoe rigoreus dat wordt verwacht. Je kunt dan voor de commutatorondergroep eerst en vooral al eens kijken hoe een element in de rechterbovenhoek eruit kan zien. Kan dat eender welke vorm aannemen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures