[wiskunde] Bewijs lemma

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 18-04-'12, 16:15

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Bewijs lemma

Zij a ∈ R0+. Voor elke ε > 0 bestaat er een δ > 0 zodat voor alle q ∈ Q geldt:

|q| < δ => |aq - 1| < ε

Het bewijs hiervan staat ik mijn boek; het probleem is dat ik hier niet goed aan uitkan. Ik heb zowel moeite met het bewijs als met de betekenis van het lemma.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dus wanneer we een willekeurig element van R kiezen, dat strikt positief is. Kunnen we dit m.b.v. een rij in Q altijd laten convergeren naar 1 ? :shock:
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 18-04-'12, 16:28

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijs lemma

Ik weet natuurlijk niet hoe je bewijs precies gaat, noch wat ervoor al gezien is. Maar ben je het ermee eens dat het volstaat om te bewijzen dat
\(a^{1/n}\)
(met a>1) convergeert naar 1? Waarom het volstaat om te kijken naar a>1 zou eenvoudig moeten zijn: als a<1, dan is 1/a > 1 en dus
\(\left(\frac{1}{a}\right)^{1/n} = \frac{1}{a^{1/n}}\)
convergeert naar 1 en dus ook
\(a^{1/n}\)
met a<1...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 18-04-'12, 16:53

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bewijs lemma

Ik zal eerst even het exacte bewijs uit de cursus geven:

Bewijs

Het lemma is triviaal als a = 1. Door op te merken dat voor elke q ∈ Q gelt dat aq = (1/a)-q, is het gemakkelijk in te zien dat het volstaat het lemma te bewijzen in het geval dat a > 1.

Veronderstel dus dat a > 1. Kies een willekeurige ε > 0. we vertrekken van volgend 'merkwaardig product': voor alle b ∈ R+ en alle n ∈ N0 geldt:

bn - 1 = (b - 1).(bn - 1 + bn - 2 + ... + b + 1)

we passen dit toe voor b = a1/n. Zo vinden we dat voor alle n ∈ N0 geldt dat:

a1 / n - 1 = (a - 1) / (a(n - 1) / n + a(n - 2) / n + a1 / n + 1)

Omdat a > 1, zal ak / n ≥ 1 voor alle k = 0, 1, ..., n-1. De noemer in het rechterlid hierboven is dus groter dan n. Daarom zal voor alle n ∈ N0:

a1 / n - 1 ≤ (a -1) / n

Neem nu n ∈ N0 groot genoeg zodat (a - 1) / n < ε. Stel δ = 1 / n. Kies een willekeurige q ∈ Q met |q| < δ. Als 0 ≤ q < δ, is:

0 ≤ aq - 1 < a1 / n - 1 ≤ (a - 1) / n < ε

als -δ < q < 0, is 0 < -q < 1 / n en vermits dan aq < 1 hebben we volgende afschatting:

|aq -1| = 1 - aq = aq(a-q - 1) < a-q - 1 < a1 / n - 1 ≤ (a - 1) / n < ε

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Drieske schreef: ↑wo 18 apr 2012, 16:28
Ik weet natuurlijk niet hoe je bewijs precies gaat, noch wat ervoor al gezien is. Maar ben je het ermee eens dat het volstaat om te bewijzen dat
\(a^{1/n}\)
(met a>1) convergeert naar 1? Waarom het volstaat om te kijken naar a>1 zou eenvoudig moeten zijn: als a<1, dan is 1/a > 1 en dus
\(\left(\frac{1}{a}\right)^{1/n} = \frac{1}{a^{1/n}}\)
convergeert naar 1 en dus ook
\(a^{1/n}\)
met a<1...
Waarom volstaat het om te bwijzen dat a1/n (met a > 1) naar 1 convergeert ? En wat wordt er nu net met die lemma bedoelt ?

OT: Is dit 1 van de moeilijkere bewijzen uit zijn cursus ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 18-04-'12, 17:00

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijs lemma

Voldoende is misschien een sterk woord. Maar het algemene geval volgt hier alleszins uit. Uiteindelijk is dat ook wat jouw bewijs doet. Zie je dat?

Ivm je OT: dat weet ik niet exact. Het is alleszins een niet triviaal iets :) . Maar je moet steeds voor ogen houden dat een bewijs altijd het resultaat is na zoeken en bewerken, en nooit iets wat men meteen in die vorm vond.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 18-04-'12, 17:15

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bewijs lemma

Drieske schreef: ↑wo 18 apr 2012, 17:00
Voldoende is misschien een sterk woord. Maar het algemene geval volgt hier alleszins uit. Uiteindelijk is dat ook wat jouw bewijs doet. Zie je dat?

Ivm je OT: dat weet ik niet exact. Het is alleszins een niet triviaal iets :) . Maar je moet steeds voor ogen houden dat een bewijs altijd het resultaat is na zoeken en bewerken, en nooit iets wat men meteen in die vorm vond.
Maar nu weet ik nog steeds niet wat men met dit lemma nu net bedoelt ? :P wat is het nut van die 'δ' ? Men kon toch ook gewoon zeggen dat:

Als a ∈ R0+ dan bestaat er voor elke ε een q ∈ R zodat |aq -1| < ε

Of willen ze met die 'δ' aantonen dat het gaat om de verzameling Q' die gaat van ]-δ, δ[ ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 18-04-'12, 17:22

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijs lemma

Dat is inderdaad waarom die delta er staat. En ook omdat het veel sterker is dan wat jij zegt: voor élke q in dat interval geldt de ongelijkheid... Niet voor één, of twee q's maar meteen voor oneindig veel. Als je dat tekent, krijg je iets gelijkaardigs als je al eerder bent tegengekomen: een delta-strook rond 0 (en daarin alle rationale waardes) komt overeen met een epsilon-strook rond 1.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 18-04-'12, 18:41

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bewijs lemma

Waarom kiezen ze bij dit lemma 1 als limiet ? Omdat ze willen aantonen dat de rij aqn naar eender welk reëel getal kan convergeren, dus kunnen ze om het 'makkelijker' te maken even goed '1' kiezen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 21-10-'12, 11:45

Beta3

Berichten: 10

Re: Bewijs lemma

In een ander topic vraag je hoe dit lemma te bewijzen voor exponentiele functies op R, maar hier wordt niet echt op ingegaan...

Mij lijkt het dat het bewijs dat je hierboven stelt even goed moet gelden voor R? Je gebruikt toch nergens eigenschappen die enkel voor rationale getallen gelden, of vergis ik me hier?

Alvast bedankt!
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”