\( f(x) \)
van een of andere lamp. Ik wil nu graag weten wat het verwachte aantal defecte lampen is tot op tijdstip T, er vanuit gaande, dat wanneer wanneer een lamp defect gaat, ik deze direct vervang door een nieuwe.Ik heb het idee dat mijn gedachte simpeler kan, maar tot op heden lukt dat niet, daarom mijn idee:
1. Er bestaat een kans dat de lamp niet kapot gaat tot tijdstip
\( T \)
, zegge deze kans \( 1 - F(T) \)
, met \( F(T)\)
de cumulatieve kans op een defect tot tijdstip \( T \)
. Het verwachte aantal defecten is dan \( 0 \cdot (1 - F(T)) = 0.\)
2. Er bestaat een kans dat de lamp 1 keer kapot gaat (op tijdstip \( t_1\)
en daarna niet meer tot tijfstip \( T \)
. De verwachting voor deze gebeurtenis, lijkt mij : \( \int_0^T 1 \cdot f(t_1) \cdot \left( 1 - F(T - t_1)\right) dT, \)
met \( 1 - F(T-t_1) \)
de kans op overleving vanaf tijdstip \( t_1 \)
tot tijdstip \(T \)
.3. eveneens kan ik dit doen voor het geval dat een lamp 2 keer kapot gaat, wat leidt tot:
\( \int_0^T 2 \cdot f(t_1) * f(t_2 - t_1) \cdot \left( 1 - F(T - t_2 \right)) dT \)
4. Meer in het algemeen voor n defecten:\( \int_0^T n \cdot f(t_1) * f(t_2 - t_1) \cdot ... \cdot f(t_n - t_{n-1})\cdot \left( 1 - F(T - t_{n}\right)) dT \)
Uiteindelijk wil je deze stappen allemaal bij elkaar optellen en dan \( n \)
naar oneindig kiezen. Ik kan me voorstellen dat dit a.) misschien wel fout is en b) misschien wel makkelijker kan.Heeft iemand een mooie aanvulling of kritische opmerking? bvd!
) klopt dat inderdaad waarschijnlijk wel (als ik de uitleg goed begrepen heb) om gewoon T te delen door verwachte levensduur voor 1 lamp om verwachte aantal defecten te hebben. Moet je daar over het algemeen niet mee opletten (m.a.w. gaat dat voor elke verdeling kloppen of niet)?