[wiskunde] Bewijs i.v.m. logaritmen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 19-04-'12, 16:11

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Bewijs i.v.m. logaritmen

Ik zou graag bewijzen dat wanneer we werken met logaritmische functies

(bv. Loga b = x <=> ax = b), we genoeg hebben aan in grontal; want de andere zijn immers gewoon een herschaling.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 19-04-'12, 16:16

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bewijs i.v.m. logaritmen

Ik vind je vraag onduidelijk; wat wil je precies bewijzen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 19-04-'12, 16:49

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bewijs i.v.m. logaritmen

TD schreef: ↑do 19 apr 2012, 16:16
Ik vind je vraag onduidelijk; wat wil je precies bewijzen?


Dat we in feite genoeg hebben aan de exponentiële functies geassocieerd aan 1 grondtal, dat de andere hier een herschaling van zijn.

Dat het niet uitmaakt of we bij de logaritmische functies bv. grondtal '10' nemen of 'e'.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 19-04-'12, 17:01

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bewijs i.v.m. logaritmen

Stel a,b ∈ R0+ \ {1}. Stel dat r = loga b <=> ar = b en r ≠ 0.

Daarom zal voor alle x ∈ R gelden dat:

expbx = bx = (ar)x = arx = expa(rx)

Anderzijnds, neem x ∈ R0+ en stel y = logb x, dan is x = by = (ar)y = ary, dus ry = logax en

logb x = (1 / r) logax
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 19-04-'12, 17:11

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bewijs i.v.m. logaritmen

Biesmansss schreef: ↑do 19 apr 2012, 16:49
Dat we in feite genoeg hebben aan de exponentiële functies geassocieerd aan 1 grondtal, dat de andere hier een herschaling van zijn.

Dat het niet uitmaakt of we bij de logaritmische functies bv. grondtal '10' nemen of 'e'.
Dit blijft vaag. Wat bedoel je met 'genoeg hebben aan'? Of 'niet uitmaakt'? Het maakt niet uit waarvoor...? Want uiteraard zijn ze wel verschillend...
Biesmansss schreef: ↑do 19 apr 2012, 17:01
logb x = (1 / r) logax
Wil je gewoon tonen dat logaritmen in een ander grondtal slechts een constante factor verschillen? Daarvoor heb je toch de eigenschap
\(\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_a b}\)
De noemer is een constante. Is het deze eigenschap die je wil bewijzen? Of toch iets anders?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 19-04-'12, 18:03

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bewijs i.v.m. logaritmen

TD schreef: ↑do 19 apr 2012, 17:11
Dit blijft vaag. Wat bedoel je met 'genoeg hebben aan'? Of 'niet uitmaakt'? Het maakt niet uit waarvoor...? Want uiteraard zijn ze wel verschillend...

Wil je gewoon tonen dat logaritmen in een ander grondtal slechts een constante factor verschillen? Daarvoor heb je toch de eigenschap
\(\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_a b}\)
De noemer is een constante. Is het deze eigenschap die je wil bewijzen? Of toch iets anders?
Dat het enige verschil tussen verschillende grontallen een herschaling betreft. En het bewijs dat ik net gegeven heb, kwam letterlijk uit mijn cursus; mr ik vind dit echter een vaag bewijs.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 19-04-'12, 18:07

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bewijs i.v.m. logaritmen

TD schreef: ↑do 19 apr 2012, 17:11
Wil je gewoon tonen dat logaritmen in een ander grondtal slechts een constante factor verschillen? Daarvoor heb je toch de eigenschap
\(\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_a b}\)
De noemer is een constante. Is het deze eigenschap die je wil bewijzen? Of toch iets anders?
Als je dit minder vaag vindt, een bewijs van bovenstaande eigenschap vind je hier.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 19-04-'12, 21:21

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bewijs i.v.m. logaritmen

Ja, dat vind ik een veel duidelijker bewijs en ik vermoed dat het op hetzelfde neer komt.

Bedankt TD!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 19-04-'12, 23:36

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bewijs i.v.m. logaritmen

Oké, graag gedaan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”