Springen naar inhoud

oefening i.v.m. exponentiŽle functie



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 april 2012 - 11:12

Een grootheid f(t) groeit exponentiëel aan met de tijd, d.w.z. dat na tijdsintervallen van gelijke lengte de grootheid met eenzelfde getal wordt vermenigvuldigd. Veronderstel dat f(0) = 1 en f(1) = a. Argumenteer dat:

(1) ∀ x1, x2 R: f(x1 + x2) = f(x1) . f(x2)

(2) ∀ r Q: f® = ar

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bewijs (1)

Het eerste zou ik proberen te bewijzen a.d.h.v. de relatieve groei.

We weten dat

Relatieve groei van [0, x1] = relatieve groei van [x2, x2 + x1]

( f(0).f(x1) ) / f(0) = ( f(0). f(x1 + x2) ) / ( f(0).f(x2) )

f(x1) . f(x2) = f(x1 + x2)


Klopt dit bewijs ?

Bewijs (2)

∀ m, n N

am = f(m) = f( (m / n) + (m / n) + ... + (m /n )

Dankzij (1) weten we dat dit gelijk is aan:

f(m / n)n

Bijgevolg is:

f(m / n) = (am)1 / n = am / n

Aangezien m, n N

kunnen we stellen dat (m / n) = r Q

Klopt ook dit bewijs ?

Dank bij voorbaat! :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 april 2012 - 13:47

Waarom is f(m) = am voor m een natuurlijk getal? Natuurlijk klopt het en is de beargumentatie (extreem) kort. Maar mag jij het aannemen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 april 2012 - 15:33

Waarom is f(m) = am voor m een natuurlijk getal? Natuurlijk klopt het en is de beargumentatie (extreem) kort. Maar mag jij het aannemen?


Euhm, kunnen we dat niet aantonen omdat f(1) = a?

a = f(1) = f((1 / n) + (1 / n) + ... + (1 / n))

Dankzij (1) weten we dat dit gelijk is aan

f((1 / n) + (1 / n) + ... + (1 / n)) = f(1 / n)n

a1 / n = f(1 / n)

Heeft dat er niks mee te maken ? Of zie ik het verkeerd ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 april 2012 - 15:49

Nu bewijs je nog iets anders... Maar het bewijs van wat ik bedoelde, is analoog hieraan ;). f(m) = f(1 +...+ 1) = f(1)...f(1) = f(1)m = am.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 april 2012 - 16:21

Nu bewijs je nog iets anders... Maar het bewijs van wat ik bedoelde, is analoog hieraan ;). f(m) = f(1 +...+ 1) = f(1)...f(1) = f(1)m = am.


Easy enough :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 april 2012 - 16:23

Inderdaad... Maar dat is wel wat je moet doen: je bewijst eerst dat (2) klopt voor m in N. Dan dat (2) klopt voor z in Z en dan pas dat het klopt voor q in Q. Snap je dat?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 april 2012 - 16:32

Inderdaad... Maar dat is wel wat je moet doen: je bewijst eerst dat (2) klopt voor m in N. Dan dat (2) klopt voor z in Z en dan pas dat het klopt voor q in Q. Snap je dat?


Die stap voor z in Z is toch niet echt nodig ? Want dan zeg je dus dat ik deze hier ook nog aan zou moeten toevoegen ? Of interpreteer ik het verkeerd ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 april 2012 - 16:34

Nee, dat zeg ik inderdaad :)... Je weet toch nog niets over f(-1) bijvoorbeeld?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 april 2012 - 16:40

Nee, dat zeg ik inderdaad :)... Je weet toch nog niets over f(-1) bijvoorbeeld?


Maar we zitten hier met een exponentiële functie die aangroeit met de tijd, dus we kunnen hier geen negatieve invoer krijgen; waardoor het 'z-bewijsje' toch overbodig wordt ? :P
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 april 2012 - 16:45

Er staat toch duidelijk: bewijs dat voor alle r in Q geldt dat... Ofwel heb je het iets te rap overgetypt en vergeten aan te geven dat r positief is, ofwel moet je toch echt wel heel Z nagaan.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 april 2012 - 16:53

Er staat toch duidelijk: bewijs dat voor alle r in Q geldt dat... Ofwel heb je het iets te rap overgetypt en vergeten aan te geven dat r positief is, ofwel moet je toch echt wel heel Z nagaan.


Nee, ik heb het letterlijk overgetypt.
Ok, ik ben het ermee eens dat we het dan toch ook wel voor heel Z moeten na gaan; maar hoe doen we dit dan ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 april 2012 - 16:57

Tja, je weet waaraan het gelijk moet zijn. Hoe zou daar naartoe kunnen werken? Veel gegevens heb je niet om te gebruiken. Hint:
Verborgen inhoud
je weet wat f(x+y) is.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures