Springen naar inhoud

Bewijs i.v.m. continue functies



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 april 2012 - 12:37

Bewijs (1)

Zij c R, dan is de constante functie f: R -> R: x |-> c continu.
We moeten dus bewijzen dat voor elke willekeurige rij (Xk) k N, die naar c convergeert f(Xk) = c.

Het is gemakkelijk in te zien dat wat de invoer ook zal zijn, die uitkomst altijd gelijk zal zijn aan 'c'. Waardoor het bovenstaande bewezen is.

Mijn vraag bij dit bewijs is, kan men dit een bewijs noemen ?

Bewijs (2)

f: R -> R: x |-> x is continu op R.

Hoe begin ik eraan om dit te bewijzen ?

Bewijs (3)

f: R -> R x |-> |x| is continu op R.

Hoe begin ik eraan om dit te bewijzen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 april 2012 - 13:55

Gebruik de definitie van continuïteit dan wordt het heel makkelijk.
Quitters never win and winners never quit.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 april 2012 - 14:04

Bewijs (2)

Kies een willekeurige a R, voor eender welke rij (Xk)k ∈ N geldt dat (f(Xk))k ∈ N naar f(a) convergeert.

Bewijs (3)


Kies een willekeurige a R, voor eender welke rij (Xk)k ∈ N geldt dat (f(Xk))k ∈ N naar f(a) convergeert.



Dit is toch letterlijk de definitie erop toepassen ? Maar dat noemt men toch geen bewijs, ofwel ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 april 2012 - 14:31

Misschien eerder iets als het volgende ?

Bewijs (2)

Neem een willekeurige a R.
Kies een willekeurige rij (Xk)k ∈ N, die naar a convergeert, aangezien de Lim (Xk)k ∈ N = a weten we dat de volgende ongelijkheid geldt:

|Xk - a| < ε ( Voor alle ε R+0 )

Omdat f(Xk) = Xk voor alle k N, weten we dat ook het volgende geldt:
|f(Xk) - a| < ε ( Voor alle ε R+0 )

Bijgevolg convergeert f(xk) naar a en is het bovenstaande bewezen!

Veranderd door Biesmansss, 23 april 2012 - 14:31

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#5

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 april 2012 - 14:41

Het is de laatste vorm die je nodig hebt.
Je moet wel nog ergens vermelden dat er voor iedere epsilon een N bestaat zodat voor alle k>N geldt dat...

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 april 2012 - 15:18

Is de formulering aan de hand van rijtjes de gehanteerde definitie of een eigenschap?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 april 2012 - 15:27

Het is de laatste vorm die je nodig hebt.
Je moet wel nog ergens vermelden dat er voor iedere epsilon een N bestaat zodat voor alle k>N geldt dat...


Klopt. :D


Is de formulering aan de hand van rijtjes de gehanteerde definitie of een eigenschap?


De formulering aan de hand van rijen is in mijn cursus de gehanteerde definitie (toch in ieder geval tot waar ik gekomen ben :D).

Bewijs (1)

Kies een willekeurige a R.
Neem nu een willekeurige rij (Xk) k ∈ N, die naar a convergeert.

Het volstaat nu om aan te tonen dat de rij (f(Xk)) k ∈ N naar f(a) convergeert.

We kunnen stellen dat f(a) = c, voor alle a R en dat f(Xk) = c, voor alle k N. (1)
Kies een willekeurige ε > 0. Dankzij (1) geldt dat:

|f(Xk) - f(a)| = |c - c| = 0 < ε (voor alle k k N)

Bijgevolg weten we dat de rij (f(Xk)) k ∈ N naar f(a) convergeert en is het bovenstaande bewezen!

Bewijs (2)

Kies een willekeurige a R.
Neem nu een willekeurige rij (Xk) k ∈ N, die naar a convergeert.

Het volstaat nu om aan te tonen dat de rij (f(Xk)) k ∈ N naar f(a) convergeert.

Kies een willekeurige ε > 0.
Aangezien de Lim Xk = a, bestaat er een k1 N zodat |Xk - a| < ε; voor alle indices k ≥ k1.

Omdat f(a) = a, voor alle a R en f(Xk) = Xk, voor alle k N kunnen we stellen dat:

|f(Xk) - f(a)| = |Xk - a| < ε

Voor alle indices k ≥ k1
Bijgevolg weten we dat de rij (f(Xk)) k ∈ N naar f(a) convergeert en is het bovenstaande bewezen!


Waardoor het bovenstaande bewezen is!

Bewijs (3)

Kies een willekeurige a R.
Neem nu een willekeurige rij (Xk) k ∈ N, die naar a convergeert.

Het volstaat nu om aan te tonen dat de rij (f(Xk)) k ∈ N naar f(a) convergeert.

Kies een willekeurige ε > 0.
Aangezien de Lim Xk = a, bestaat er een k1 N zodat |Xk - a| < ε; voor alle indices k ≥ k1. (1)

We weten dat f(a) = |a|, voor alle a R en dat f(Xk) = Xk, voor alle k N. Dankzij (1) kunnen we stellen dat:

|f(Xk) - f(a)| = ||Xk| - |a|| ≤ |Xk - a| < ε (tweede driehoeksongelijkheid)

Voor alle indices k ≥ k1
Bijgevolg weten we dat de rij (f(Xk)) k ∈ N naar f(a) convergeert en is het bovenstaande bewezen!

Veranderd door Biesmansss, 23 april 2012 - 15:29

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures