Springen naar inhoud

Faseplaatje bij differentiaalvergelijkingen



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 april 2012 - 16:41

Hallo allemaal,

Er is mij nog iets onduidelijk over tweedimensionale differentiaalvergelijkingen:

Laat LaTeX . Vind de stationaire punten, bekijk hun stabiliteit, teken de isoclines en schets een plausibel faseplaatje.

LaTeX
LaTeX


De stationaire punten voldoen aan LaTeX . Dit zijn dus (0,0), (0, 2) en (3, 0).


De Jacobiaan: LaTeX

Dus de stabiliteit van (0,0):
LaTeX . De eigenwaarden zijn dus 3 en 2 en er is sprake van een onstabiele knoop.

De stabiliteit van (0,2):
LaTeX . De eigenwaarden zijn dus 1 en -2 en er is sprake van een zadelpunt.

De stabiliteit van (0,3):
LaTeX . De eigenwaarden zijn dus -3 en -1 en er is sprake van een stabiele knoop.


Voor de isoclines geldt dat LaTeX of LaTeX . Dus dit zijn LaTeX .


Naar aanleiding van deze gegevens heb ik geprobeerd een faseplaatje te tekenen (in het (x,y)-vlak). Klopt mijn redenatie als je naar dit plaatje kijkt?

faseplaatje.png



Alvast bedankt!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 april 2012 - 18:40

Voor de isoclines geldt dat LaTeX

of LaTeX .

Ik kan me vergissen maar volgens mij is dit onjuist. Volgens mij zijn isoclines lijnen waarop de richting constant is. De afgeleiden hoeven dus niet nul te zijn, maar moeten constant zijn.

#3

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 april 2012 - 18:45

Excuses. Ik bedoelde de nullclines. Ik dacht dat de Nederlandse vertaling daarvan isocline was, maar het betreft hier dus een nullcline.

#4

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 april 2012 - 07:29

Ik had het idee dat je plaatje er niet goed uitzag. Ik heb even een programma geschreven om te kijken hoe het plaatje er daadwerkelijk uitziet.
Curves.png
Ik denk dat de lijn door (0,2) en (3,0) een belangrijke lijn is die in jouw plaatje niet duidelijk naar voren komt.

#5

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 april 2012 - 09:26

Welk programma gebruik je hiervoor? Het lijkt me erg handig als ondersteuning.
Ik begrijp de lijn door (0,2) en (3,0) niet goed. Is dat misschien zo'n 'as' van het zadelpunt (0,2)? Afgezien van dat begrijp ik het beter. De nullclines door (0,2) en (2,0) en (0,3) en (3,0) zijn ook zichtbaar, omdat de vectorlijnen precies verticaal of horizontaal lopen als ze die y = 3 - x of y = 2 - x doorsnijden.

#6

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 april 2012 - 09:38

Ik gebruik hiervoor Octave (een Matlab-achtig programma). Als je geen ervaring hebt met Matlab/Octave zou het wel eens kunnen tegenvallen hoeveel je hier aan hebt. Hier toch maar even de code die ik gebruikt heb om een oplossingscurve te genereren met beginpunt (x0,y0):
function [ ret ] = rwtest (x0, y0)
    N = 50000;
    dt = 0.001;
    x = x0;
    y = y0;
    xc = zeros(1,N);
    yc = zeros(1,N);
    for t = 1:1:N,
        xc(t) = x;
        yc(t) = y;
        dx = x * (3 - x - y);
        dy = y * (2 - x - y);
        x = x + (dx*dt);
        y = y + (dy*dt);
    end    
    ret = [xc; yc];
endfunction

De lijn door (0,2) en (3,0) is een isocline waarbij de richting van de afgeleides gelijk is aan de richting van de lijn.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures