Er is mij nog iets onduidelijk over tweedimensionale differentiaalvergelijkingen:
Laat
\(x, y \geq 0\)
. Vind de stationaire punten, bekijk hun stabiliteit, teken de isoclines en schets een plausibel faseplaatje.[/b]\(\frac{dx}{dt} = x(3 - x - y)\)
\(\frac{dy}{dt} = y(2 - x - y)\)
De stationaire punten voldoen aan \(\frac{dx}{dt} = 0 = \frac{dy}{dt}\)
. Dit zijn dus (0,0), (0, 2) en (3, 0).De Jacobiaan:
\(A = \begin{pmatrix} 3 - 2x - y & -x \\ -y & 2 - x - 2y \end{pmatrix}\)
Dus de stabiliteit van (0,0):\(A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)
. De eigenwaarden zijn dus 3 en 2 en er is sprake van een onstabiele knoop.De stabiliteit van (0,2):
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}\)
. De eigenwaarden zijn dus 1 en -2 en er is sprake van een zadelpunt.De stabiliteit van (0,3):
\(A = \begin{pmatrix} -3 & -3 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)
. De eigenwaarden zijn dus -3 en -1 en er is sprake van een stabiele knoop.Voor de isoclines geldt dat
\(\frac{dx}{dt} = 0\)
of \(\frac{dy}{dt} = 0\)
. Dus dit zijn \(x = 0. y = 0, y = 3 - x, y = 2 - x\)
.Naar aanleiding van deze gegevens heb ik geprobeerd een faseplaatje te tekenen (in het (x,y)-vlak). Klopt mijn redenatie als je naar dit plaatje kijkt?
- faseplaatje.png (11.94 KiB) 791 keer bekeken
