Hallo allemaal,
Ik heb een vraag gekregen over de Duffing vergelijking, die ik niet volledig begrijp.
Laat zien dat de Duffing vergelijking \(\frac{d^2x}{dt^2} + x + \alpha x^3 = 0\)
een nonlinear center heeft op de oorsprong voor alle
\(\alpha > 0\)
[/b]
Het leek me dat ik deze differentiaalvergelijking in een tweedimensionaal systeem moest opsplitsen:
\(\frac{dx}{dt} = v\)
\(\frac{dv}{dt} = -x - \alpha x^3\)
Dan is de Jacobiaan:
\(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 - 3\alpha x^2 & 0 \end{pmatrix}\)
Dus voor (0,0) geldt:
\(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
. Het spoor is 0 en de determinant is 1, dus er is inderdaad sprake van een center. Maar dit is toch altijd het geval, ongeacht de waarde van
\(\alpha\)
?
In de vervolgvraag wordt namelijk gevraagd om voor
\(\alpha < 0\)
aan te tonen dat alle trajectories in de buurt van de oorsprong gesloten zijn.