Pagina 1 van 1
Duffing vergelijking
Geplaatst: ma 23 apr 2012, 19:49
door Fruitschaal
Hallo allemaal,
Ik heb een vraag gekregen over de Duffing vergelijking, die ik niet volledig begrijp.
Laat zien dat de Duffing vergelijking \(\frac{d^2x}{dt^2} + x + \alpha x^3 = 0\)
een nonlinear center heeft op de oorsprong voor alle
\(\alpha > 0\)
[/b]
Het leek me dat ik deze differentiaalvergelijking in een tweedimensionaal systeem moest opsplitsen:
\(\frac{dx}{dt} = v\)
\(\frac{dv}{dt} = -x - \alpha x^3\)
Dan is de Jacobiaan:
\(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 - 3\alpha x^2 & 0 \end{pmatrix}\)
Dus voor (0,0) geldt:
\(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
. Het spoor is 0 en de determinant is 1, dus er is inderdaad sprake van een center. Maar dit is toch altijd het geval, ongeacht de waarde van
\(\alpha\)
?
In de vervolgvraag wordt namelijk gevraagd om voor
\(\alpha < 0\)
aan te tonen dat alle trajectories in de buurt van de oorsprong gesloten zijn.
Re: Duffing vergelijking
Geplaatst: di 24 apr 2012, 10:11
door Drieske
Fruitschaal schreef: ↑ma 23 apr 2012, 19:49
Maar dit is toch altijd het geval, ongeacht de waarde van
\(\alpha\)
?
Klopt. Maar het faseportret is helemaal anders wel... Je moet daar maar eens naar kijken als je wilt. Maar je conclusie klopt dus wel
.
Re: Duffing vergelijking
Geplaatst: di 24 apr 2012, 10:20
door Fruitschaal
Ja, ik moet ook een faseplaatje tekenen, x tegen v neem ik aan?
Ik vind het wel apart dat er specifiek bij wordt vermeld dat het een center is als
\(\alpha > 0\)
, maar eigenlijk geldt het voor alle
\(\alpha\)
.
Re: Duffing vergelijking
Geplaatst: di 24 apr 2012, 10:22
door Drieske
Het is inderdaad zeer apart... Je kunt het eens aan je docent vragen bij gelegenheid?
Re: Duffing vergelijking
Geplaatst: di 24 apr 2012, 10:33
door Fruitschaal
Dan zal het vast te maken hebben met het faseplaatje dat verandert. Ik zal het eens vragen, mocht iemand anders dat niet doen
De vervolgvraag:
b) Laat zien dat alle trajectories in de buurt van de origin gesloten zijn als \(\alpha < 0\)
. Hoe zit het met trajectories ver van de oorsprong vandaan?[/b]
Hoe moet ik dat aanpakken?
Re: Duffing vergelijking
Geplaatst: ma 30 apr 2012, 17:03
door eendavid
Het verschil tussen
\(\alpha<0\)
en
\(\alpha>0\)
is dat voor
\(\alpha<0\)
meer dan 1 evenwichtspunt bestaat, en dat er een verschillende conclusie volgt voor trajectories ver van de oorsprong. Maar je hebt gelijk dat het voor deelvraag 1 niet relevant is; in deelvraag 2 merk je het verschil uiteindelijk wel.
Tip: construeer een behouden grootheid. Wat vertelt deze je over mogelijke waarden van x,v voor gegeven beginvoorwaarden?
Re: Duffing vergelijking
Geplaatst: ma 30 apr 2012, 21:36
door Fruitschaal
Ondertussen ben ik daar zelf ook achter gekomen, toch bedankt!
Als
\(\alpha < 0\)
komen er twee evenwichtspunten 'bij' in het geval
\(\alpha > 0\)
zouden deze imaginair zijn, dus zijn niet van belang.
Ik moest een faseplaatje tekenen waarmee ik b dus aantoonde, dat heb ik ook gedaan en het klopt aardig. In de buurt van de oorsprong zijn het ellipsen (dus gesloten banen), ver van de oorsprong af niet, omdat ze dan onder invloed zijn van die twee 'nieuwe' evenwichtspunten (zadelpunten).
Dus volgens mij is dit gelukt. Bedankt allen!
Re: Duffing vergelijking
Geplaatst: ma 30 apr 2012, 22:03
door eendavid
Er ontbreekt nog iets in de uitleg die je hier schrijft. Wat denk je dat optreedt voor
\(\alpha>0\)
, met initiele voorwaarden ver van de oorsprong? Waarin verschilt dit van
\(\alpha<0\)
? De energie wordt gegeven door
\(\frac{v^2}{2}+\frac{x^2}{2}+\frac{\alpha}{4}x^4\)
. Kan x willekeurig groot worden voor
\(\alpha>0\)
?En voor
\(\alpha<0\)
?
