Ja, dat vermoedde ik al
Maar de som van invariante functies is wederom invariant?
In de vervolgvraag moet ik aantonen dat de evenwichtspunten/stationaire punten geen stabiele knopen of spiralen kunnen zijn.
Als ik de vergelijking herschrijf, kom ik op:
\(\frac{dx}{dt} = y\)
\(\frac{dy}{dt} = -f(y) - g(x)\)
De Jacobiaan is:
\(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -g'(x) & -f'(y) \end{pmatrix}\)
Voor evenwichtspunten moet gelden dat
\(\frac{dx}{dt} = 0 = \frac{dy}{dt}\)
.
Dus
\(y = 0\)
en
\(-g'(x) = f'(0)\)
.
Dus als ik dit invul in de Jacobiaan:
\(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ f'(0) & -f'(0) \end{pmatrix}\)
.
Het spoor (trace) is
\(-f'(0)\)
en de determinant is
\(-f'(0)\)
. Om een stabiele knoop te zijn moet gelden dat determinant
\(= \delta = -f'(0) > 0\)
, spoor
\(= \tau = -f'(0) < 0\)
én
\(\tau^2 - 4\delta > 0\)
. Die eerste twee voorwaarden spreken elkaar tegen, dus het kan sowieso nooit een stabiele knoop zijn.
Voor een spiraal moet gelden dat
\(\delta > 0\)
,
\(\tau \neq 0\)
en
\(\tau^2 - 4\delta < 0\)
.
Dus dan kom ik op dat als
\(f'(0) > 0\)
, dan
\((f'(0))^2 + 4f'(0) > 0\)
en voor een spiraal kan dit niet.
Dus de evenwichtspunten kunnen nooit stabiele knopen of spiralen zijn.
Ik heb dit 'ontdekt' tijdens het opschrijven, want eerst wist ik niet hoe ik dit moest aanpakken. Mijn enkele vraag is nu dan ook of het klopt
Edit:
Oh nee, dit gaat niet goed. Ik neem aan dat de afgeleides en originele functies gelijk zijn... Wat moet ik doen?
