Wetenschapsforum

Beschouw functies van de vorm

\(\frac{d^2x}{dt^2} + f(\frac{dx}{dt}) + g(x) = 0\)

waar f een even functie is en f en g 'netjes' (smooth) zijn.

a) Toon aan dat deze vergelijking invariant is onder

\(t \rightarrow -t\)

.[/b]

Eigenlijk weet ik niet hoe ik moet beginnen. De vergelijking is invariant als wanneer je t door -t vervangt en je de resulterende 'minnetjes' wegstreept, de originele vergelijking weer terug krijgt. Dus dat zou betekenen dat

\(h(x) = x^3\)

invariant is onder

\(x \rightarrow -x\)

? Want

\(h(-x) = -x^3\)

, en dus

\(-h(-x) = h(x)\)

?

Ik weet niet hoe ik dit op bovenstaande differentiaalvergelijking kan toepassen.

Ik hoop dat iemand mij hier kan helpen. Alvast bedankt

Iemand die hier een handje kan toesteken?

Voor het gemak zeg ik:

\(u = -t\)

dan

\(\frac{dx}{dt} = \frac{dx}{du} \frac{du}{dt} = -\frac{dx}{du}\)

dus

\(f(\frac{dx}{dt}) = f(-\frac{dx}{du}) = f(\frac{dx}{du})\)

waarbij de laatste stap geldt omdat de functie f even is.

Vergelijk de vorm van deze term in u met de oorspronkelijke vorm van deze term in t. Je ziet dat de vorm hetzelfde is (= invariant).

Als je nu de eerste term ook uitdrukt in u dan ben je klaar (mits deze eerste term in u ook invariant blijkt te zijn).

Ik begrijp de stap

\(\frac{dx}{du}\frac{du}{dt} = -\frac{dx}{du}\)

niet. Het lijkt me dan juist dat je de du'tjes weg kan strepen en je weer op dx/dt komt.

\(u(t) = -t \rightarrow \frac{du}{dt} = -1\)

dus...

Oh, natuurlijk.

Dus:

\(\frac{d²x}{dt²} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{dt}\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{du}\right) = \frac{d}{dt}\left(-\frac{dx}{dt}\right) = -\frac{d²x}{dt²}\)

, toch?

Ik hoop dat je dit bedoelde:

\(\frac{d^2 x}{dt^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{dt}\right) = \frac{d}{dt}\left(-\frac{dx}{du}\right) = \frac{d}{du}\left(-\frac{dx}{du}\right) \frac{du}{dt} = -\frac{d}{du}\left(-\frac{dx}{du}\right) = \frac{d^2 x}{du^2}\)

Of dat je hiermee ziet waar je een fout hebt gemaakt...

Dat bedoelde ik niet helemaal, maar ik zie nu inderdaad wat ik fout heb gedaan. Dus nu hebben we aangetoond dat de tweede afgeleide invariant is, f is invariant, dus nu moet g nog invariant zijn, want dan is de som van die drie ook invariant?

Moet ik dan bewijzen dat

\(g(x(t)) = g(u(t))\)

?

Je moet bewijzen dat:

\(g(x(t)) = g(x(t(u))) = g(x(u))\)

Dat hoef je echter niet te bewijzen. Dat je x in u kunt uitdrukken is triviaal aangezien je t in u kunt uitdrukken.

Oké, en de som van drie invariante functies is ook weer invariant?

\(\frac{dr}{dt} = r(1 - r^2)(4 - r^2) = \sqrt{2} (1-2) (4-2) = -2 \sqrt{2}\)

Hmmm... ik denk dat ik iets raars gedaan heb. Mijn vorige bericht had ik bij je andere onderwerp willen plaatsen.

Ja, dat vermoedde ik al

Maar de som van invariante functies is wederom invariant?

In de vervolgvraag moet ik aantonen dat de evenwichtspunten/stationaire punten geen stabiele knopen of spiralen kunnen zijn.

Als ik de vergelijking herschrijf, kom ik op:

\(\frac{dx}{dt} = y\)

\(\frac{dy}{dt} = -f(y) - g(x)\)

De Jacobiaan is:

\(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -g'(x) & -f'(y) \end{pmatrix}\)

Voor evenwichtspunten moet gelden dat

\(\frac{dx}{dt} = 0 = \frac{dy}{dt}\)

.

Dus

\(y = 0\)

en

\(-g'(x) = f'(0)\)

.

Dus als ik dit invul in de Jacobiaan:

\(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ f'(0) & -f'(0) \end{pmatrix}\)

.

Het spoor (trace) is

\(-f'(0)\)

en de determinant is

\(-f'(0)\)

. Om een stabiele knoop te zijn moet gelden dat determinant

\(= \delta = -f'(0) > 0\)

, spoor

\(= \tau = -f'(0) < 0\)

én

\(\tau^2 - 4\delta > 0\)

. Die eerste twee voorwaarden spreken elkaar tegen, dus het kan sowieso nooit een stabiele knoop zijn.

Voor een spiraal moet gelden dat

\(\delta > 0\)

,

\(\tau \neq 0\)

en

\(\tau^2 - 4\delta < 0\)

.

Dus dan kom ik op dat als

\(f'(0) > 0\)

, dan

\((f'(0))^2 + 4f'(0) > 0\)

en voor een spiraal kan dit niet.

Dus de evenwichtspunten kunnen nooit stabiele knopen of spiralen zijn.

Ik heb dit 'ontdekt' tijdens het opschrijven, want eerst wist ik niet hoe ik dit moest aanpakken. Mijn enkele vraag is nu dan ook of het klopt

Edit:

Oh nee, dit gaat niet goed. Ik neem aan dat de afgeleides en originele functies gelijk zijn... Wat moet ik doen?

Maar de som van invariante functies is wederom invariant?

Dit lijkt me zo evident dat ik niet zie hoe je iets anders zou kunnen denken...

Bij de vervolgvraag zie ik nog niet hoe je dat aan moet pakken. Ik zou verwachten dat je iets moet doen met het antwoord bij vraag a, maar ik zie niet hoe.

Wetenschapsforum

[wiskunde] Omkeerbare systemen (differentiaalrekening)

Omkeerbare systemen (differentiaalrekening)

Re: Omkeerbare systemen (differentiaalrekening)

Re: Omkeerbare systemen (differentiaalrekening)

Re: Omkeerbare systemen (differentiaalrekening)

Re: Omkeerbare systemen (differentiaalrekening)

Re: Omkeerbare systemen (differentiaalrekening)

Re: Omkeerbare systemen (differentiaalrekening)

Re: Omkeerbare systemen (differentiaalrekening)

Re: Omkeerbare systemen (differentiaalrekening)

Re: Omkeerbare systemen (differentiaalrekening)

Re: Omkeerbare systemen (differentiaalrekening)

Re: Omkeerbare systemen (differentiaalrekening)

Re: Omkeerbare systemen (differentiaalrekening)

Re: Omkeerbare systemen (differentiaalrekening)