--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
"Toon met behulp van de definitie van continuïteit aan dat de functie
f: R -> R: x |-> 3x - 2 continu is over R. Als je in je argumentatie beweert dat bepaalde rijen convergeren, moet je ook dat bewijzen met behulp van de definitie van convergentie."
Bewijs
Om aan te tonen dat deze functie continu is volstaat het om te bewijzen dat wanneer we een willekeurige a ∈R kiezen en een willekeurige rij (Xk)k ∈ N nemen die convergeert naar deze a, dat (f(Xk))k ∈ N naar f(a) convergeert.
Kies een willekeurige ε > 0.
Aangezien de Lim Xk = a, bestaat er een k1 ∈N zodat |Xk -a| < ε / 3; voor alle indices k ≥ k1. (1)
We weten dat f(a) = 3a - 2, voor alle a ∈R en dat f(Xk) = 3Xk - 2, voor alle k ∈N. Dankzij (1) vinden we dat:
|(3Xk - 2) - (3a - 2)| = 3|Xk - a| < 3 (ε / 3) = ε
Voor alle k ≥ k1.
We weten nu dat de rij (f(Xk))k ∈ N naar f(a) convergeert. Waardoor het bovenstaande bewezen is!
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
"Toon met behulp van de definitie van continuïteit aan dat de volgende functie overal continu is. Als je in je argumentatie beweert dat bepaalde rijen convergeren, dan mag je dit staven door te verwijzen naar geziene eigenschappen / rekenregels voor convergente rijen."
Bewijs
f: R -> R: x |-> 2x2 + 5
Om aan te tonen dat deze functie continu is volstaat het om te bewijzen dat wanneer we een willekeurige a ∈R kiezen en een willekeurige rij (Xk)k ∈ N nemen die convergeert naar deze a, dat (f(Xk))k ∈ N naar f(a) convergeert.
Kies een willekeurige ε > 0.
Aangezien de Lim Xk = a, bestaat er een k1 ∈N zodat |Xk -a| < ε; voor alle indices k ≥ k1.
We weten dat f(a) = a2 + 5, voor alle a ∈R en dat f(Xk) = 2(Xk)2 + 5. Dankzij stelling 2.2.3.6 vinden we dat:
Lim (Xk + Yk = Lim Xk + Lim Yk
Lim (A.Xk) = A Lim Xk (met a ∈R)
Lim (Xk.Yk) = Lim Xk . Lim Yk
Dus:
Lim (Xk.Xk) = Lim Xk . Lim Xk = a2
En:
Lim f(Xk) = 2(Xk)2 + 5 = 2 Lim (Xk)2 + Lim 5 = 2a2 + 5
We weten nu dat de rij (f(Xk))k ∈ N naar f(a) convergeert. Waardoor het bovenstaande bewezen is!
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dank bij voorbaat!
. Maar dat verschil in argumentatie sluit aan bij de opmerking(en) die jij vaag vond. In het eerste geval moet je convergentie nagaan met 'e, n0'-technieken. In het tweede geval mag je gewoon gekende eigenschappen gebruiken.
. Welke regels je mag/kunt gebruiken, is moeilijk in te schatten zo. Mij lijkt het niet onmogelijk/onlogisch als er ergens in je cursus een stelling staat die iets zegt over de absolute waarde van een rij... Heb je zoiets gezien?