Springen naar inhoud

Bewijzen i.v.m. continue functies



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 april 2012 - 20:42

Ik vraag mij af of onderstaande bewijzen kloppen (vooral het tweede bewijs) en of ik alles gedaan heb wat de opgave vraagt. De rode delen in de opgaves vind ik tamelijk vaag.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

"Toon met behulp van de definitie van continuïteit aan dat de functie
f: R -> R: x |-> 3x - 2 continu is over R. Als je in je argumentatie beweert dat bepaalde rijen convergeren, moet je ook dat bewijzen met behulp van de definitie van convergentie."

Bewijs

Om aan te tonen dat deze functie continu is volstaat het om te bewijzen dat wanneer we een willekeurige a R kiezen en een willekeurige rij (Xk)k ∈ N nemen die convergeert naar deze a, dat (f(Xk))k ∈ N naar f(a) convergeert.

Kies een willekeurige ε > 0.
Aangezien de Lim Xk = a, bestaat er een k1 N zodat |Xk -a| < ε / 3; voor alle indices k ≥ k1. (1)

We weten dat f(a) = 3a - 2, voor alle a R en dat f(Xk) = 3Xk - 2, voor alle k N. Dankzij (1) vinden we dat:

|(3Xk - 2) - (3a - 2)| = 3|Xk - a| < 3 (ε / 3) = ε

Voor alle k ≥ k1.
We weten nu dat de rij (f(Xk))k ∈ N naar f(a) convergeert. Waardoor het bovenstaande bewezen is!

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

"Toon met behulp van de definitie van continuïteit aan dat de volgende functie overal continu is. Als je in je argumentatie beweert dat bepaalde rijen convergeren, dan mag je dit staven door te verwijzen naar geziene eigenschappen / rekenregels voor convergente rijen."

Bewijs

f: R -> R: x |-> 2x2 + 5

Om aan te tonen dat deze functie continu is volstaat het om te bewijzen dat wanneer we een willekeurige a R kiezen en een willekeurige rij (Xk)k ∈ N nemen die convergeert naar deze a, dat (f(Xk))k ∈ N naar f(a) convergeert.

Kies een willekeurige ε > 0.
Aangezien de Lim Xk = a, bestaat er een k1 N zodat |Xk -a| < ε; voor alle indices k ≥ k1.

We weten dat f(a) = a2 + 5, voor alle a R en dat f(Xk) = 2(Xk)2 + 5. Dankzij stelling 2.2.3.6 vinden we dat:

Lim (Xk + Yk = Lim Xk + Lim Yk

Lim (A.Xk) = A Lim Xk (met a R)

Lim (Xk.Yk) = Lim Xk . Lim Yk

Dus:

Lim (Xk.Xk) = Lim Xk . Lim Xk = a2

En:

Lim f(Xk) = 2(Xk)2 + 5 = 2 Lim (Xk)2 + Lim 5 = 2a2 + 5

We weten nu dat de rij (f(Xk))k ∈ N naar f(a) convergeert. Waardoor het bovenstaande bewezen is!


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dank bij voorbaat! :D

Veranderd door Biesmansss, 23 april 2012 - 20:54

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 april 2012 - 21:24

Wat vind je vaag aan die uitspraak? Ze zegt toch gewoon (alleen iets uitgebreider) "als jij beweert dat een rij convergeert naar iets, bewijs dit dan"...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 april 2012 - 23:26

Wat vind je vaag aan die uitspraak? Ze zegt toch gewoon (alleen iets uitgebreider) "als jij beweert dat een rij convergeert naar iets, bewijs dit dan"...


Klopt, maar ik vind dit een beetje vaag omdat we werken met willekeurige rijen; maar
de bewijzen kloppen dus ?

Veranderd door Biesmansss, 23 april 2012 - 23:27

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 april 2012 - 09:17

Ja, je bewijzen kloppen. Al zie ik in je tweede bewijs het nut niet echt van zeggen dat je |Xk - a|<e krijgt. Je doet er niets mee. Overigens, merk ook het verschil op tussen je bewijs 1) en bewijs 2). Als dit toeval is, heb je geluk gehad :P. Maar dat verschil in argumentatie sluit aan bij de opmerking(en) die jij vaag vond. In het eerste geval moet je convergentie nagaan met 'e, n0'-technieken. In het tweede geval mag je gewoon gekende eigenschappen gebruiken.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 april 2012 - 10:22

Ja, je bewijzen kloppen. Al zie ik in je tweede bewijs het nut niet echt van zeggen dat je |Xk - a|<e krijgt. Je doet er niets mee. Overigens, merk ook het verschil op tussen je bewijs 1) en bewijs 2). Als dit toeval is, heb je geluk gehad :P. Maar dat verschil in argumentatie sluit aan bij de opmerking(en) die jij vaag vond. In het eerste geval moet je convergentie nagaan met 'e, n0'-technieken. In het tweede geval mag je gewoon gekende eigenschappen gebruiken.


Ah, nee dit is geen toeval. Ik had het eerst op de manier geprobeerd zoals het eerste bewijs, maar toen ik merkte dat dit absoluut niet kon kloppen ben ik opzoek gegaan naar een andere manier; die ik dan uiteindelijk ook snel gevonden had. :D
Nog even een vraagje:

Bij die oefening stond ook de functie f: R -> R: x |-> |X|

Deze had ik al eens bewezen bij de theorie van de cursus en in een andere thread (link). Welke rekenregels gebruik ik hier ? Is het voldoende om te stellen dat ik enkel de tweede driehoeksongelijkheid gebruik ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 april 2012 - 10:24

Bij welke oefening stond ze? De eerste of de tweede?

En snap je dat het rode gedeelte je eigenlijk zegt hoe je moet (proberen te) bewijzen dat je functie continue is?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 april 2012 - 10:28

Bij welke oefening stond ze? De eerste of de tweede?

En snap je dat het rode gedeelte je eigenlijk zegt hoe je moet (proberen te) bewijzen dat je functie continue is?


Yup, dat begrijp ik helemaal.
De oefening stond bij het tweede gedeelt, dus dit i.v.m. het bewijzen via rekenregels.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 april 2012 - 10:31

Okee :). Welke regels je mag/kunt gebruiken, is moeilijk in te schatten zo. Mij lijkt het niet onmogelijk/onlogisch als er ergens in je cursus een stelling staat die iets zegt over de absolute waarde van een rij... Heb je zoiets gezien?

Maar in se komt het wel neer op die driehoeksongelijkheid ja.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 april 2012 - 10:38

Okee :). Welke regels je mag/kunt gebruiken, is moeilijk in te schatten zo. Mij lijkt het niet onmogelijk/onlogisch als er ergens in je cursus een stelling staat die iets zegt over de absolute waarde van een rij... Heb je zoiets gezien?

Maar in se komt het wel neer op die driehoeksongelijkheid ja.


Ja, zo'n stelling staat er zeker en vast in. Ze gaat ongeveer:

"De rij (Xk)k ∈ N convergeert als en slechts als de rij |(Xk)|k ∈ N convergeet. Bovendien als de rij |(Xk)|k ∈ N naar |a| convergeert zal de rij rij (Xk)k ∈ N naar a convergeren."

Klopt deze ? Want ik ben ze nu niet gaan opzoeken.
Indien ja, dan kunnen we hieruit rechtstreeks afleiden dat |Xk| naar |a| zal convergeren omdat Xk naar a convergeert. Akkoord ?

Maar het bewijsje waar ik gebruik maak van de tweede driehoeksongelijkheid klopt toch ook ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 april 2012 - 10:40

Volgens mij gaat de stelling nog ietsje anders gaan. Want nu kun je uit het convergeren van |Xk| alleen convergentie van Xk concluderen en niet omgekeerd. En dat is wat je wilt. Misschien toch eens opzoeken als je de kans ziet?

Je bewijsje met tweede driehoeksongelijkheid klopt zeker ook. Het is gewoon een kwestie van 'gebruik wat je hebt'.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 april 2012 - 10:49

Klopt, ik heb ze dan toch maar even opgezocht en ze gaat als volgt:

"Veronderstel dat de rij (Xk)k ∈ N een convergente rij is met limiet a. Dan zal ook de rij |(Xk)|k ∈ N convergeren. Bovendien is Lim |Xk| = |a|."

Waaruit het dan wel rechtstreeks volgt.Het bewijs van deze propositie gaat trouwens via de tweede driehoeksongelijkheid. :D

Bedankt voor de hulp Dries!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 april 2012 - 11:53

Graag gedaan :). Veel succes nog!

Overigens zou jouw bewijs in dat andere topic quasi identiek moeten zijn aan het bewijs van die stelling.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 april 2012 - 12:29

Kan iemand een voorbeeld geven van waarom het handig is om dit soort problemen op te lossen met een rij?

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 april 2012 - 12:42

Bedoel je met 'dit soort problemen' 'dit soort basisproblemen die makkelijk(er) zijn via andere wegen'?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 april 2012 - 13:27

Continuiteit zou ik in dit soort gevallen gewoon met een limiet aantonen (zonder rij). Ik vraag me af of er een geval is waar het met een rij makkelijker wordt..






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures