Springen naar inhoud

Oefeningen i.v.m. continu´teit van functies



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 april 2012 - 13:10

"Toon aan dat f niet continu is in 1.

f: R2 -> R: (x,y) |->

1 ( als xy = 0 )
0 ( als xy ≠ 0 )"

Om aan te tonen dat deze functie niet continu is volstaat het om te bewijzen dat we een rij (Xk, Yk)k ∈ N kunnen vinden die naar (a, b) convergeert; maar waarvan de rij (f(Xk, Yk))k ∈ N niet naar f(a, b) convergeert.

Beschouw de rij ((1 / k), (1 / k)k ∈ N. Deze rij convergeert naar (0, 0); maar omdat zowel Xk als Yk nooit effectief de waarde 0 zullen aannemen zal de rij
(f(Xk, Yk))k ∈ N convergeren naar 0 en dus niet naar f(0, 0) = 1

Mijn vraag is: Volstaat dit om aan te tonen dat f niet continu is in 1 ?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Beschouw de functie

f: R2 -> R: (x, y) |->

(xy) / (x2 + y2) ( als (x, y) ≠ (0, 0) )

A ( als (x, y) = (0 , 0) )

Hoe begin ik hieraan ? Op ongeveer dezelfde manier als hierboven ?

Beschouw de rij ((1 / k), (1 / k)k ∈ N. Deze rij convergeert naar (0, 0); maar omdat zowel Xk als Yk nooit effectief de waarde 0 zullen aannemen zal de rij
(f(Xk, Yk))k ∈ N convergeren naar ( ... ) en dus niet naar f(0, 0) = A

En moet ik dan nog bewijzen wat de limiet wordt van xy) / (x2 + y2) als zowel x en y naar 0 gaan ? En dan ook nog dat dit nooit gelijk kan zijn aan A ?

Dank bij voorbaat!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 april 2012 - 13:24

Ik zou een vraag per keer doen, dat is wat minder verwarrend. Eventueel gebruik je wel dezelfde topic om achteraf nog een gelijkaardige vraag toe te voegen. Laten we met de eerste beginnen; ik vermoed dat je bedoelt 'toon dat de functie niet continu is in (0,0)', in plaats van 'in 1'.

De rij die je gebruikt is prima, je gaat naar (0,0) over de eerste bissectrice en daar is xy [ongelijk] 0 dus f(1/k,1/k) = 0 voor alle k en de limiet van deze rij verschilt van de functiewaarde.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 april 2012 - 13:36

Ik zou een vraag per keer doen, dat is wat minder verwarrend. Eventueel gebruik je wel dezelfde topic om achteraf nog een gelijkaardige vraag toe te voegen. Laten we met de eerste beginnen; ik vermoed dat je bedoelt 'toon dat de functie niet continu is in (0,0)', in plaats van 'in 1'.

De rij die je gebruikt is prima, je gaat naar (0,0) over de eerste bissectrice en daar is xy [ongelijk] 0 dus f(1/k,1/k) = 0 voor alle k en de limiet van deze rij verschilt van de functiewaarde.


Ja inderdaad, ik bedoelde (0, 0) i.p.v. 1; maar mijn bewijs is dus correct ? Is het ook goed verwoord ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 april 2012 - 13:44

Dat is soms een kwestie van 'smaak'. Een bewijs moet de lezer overtuigen dat je de regels van de logica hebt gevolgd om een ware uitspraak af te leiden, om het een beetje gewichtig uit te drukken.

Daarin zou ik streven om alles zo neutraal mogelijk te verwoorden en overbodige opmerkingen achterwege te laten. Zo zou ik bijvoorbeeld niet zeggen:

Beschouw de rij ((1 / k), (1 / k)k ∈ N. Deze rij convergeert naar (0, 0); maar omdat zowel Xk als Yk nooit effectief de waarde 0 zullen aannemen zal de rij
(f(Xk, Yk))k ∈ N convergeren naar 0 en dus niet naar f(0, 0) = 1


Ik 'overdrijf' even een beetje: hoezo 'nooit effectief'? Neemt het de waarde 0 dan wel aan op een 'niet-effectieve' manier, of zoiets? Dat klinkt misschien vreemd, maar het is (volgens mij) veel duidelijker als je gewoon zegt: 'aangezien 1/k [ongelijk] 0 voor alle k (in N), is f(1/k,1/k) = 0 want xy = (1/k)² [ongelijk] 0 voor alle k (in N)'. Het vervolg blijft identiek: om die reden is de beeldrij constant (namelijk het rijtje met alle termen 0) zodat de rij naar 0 convergeert, terwijl f(0,0) = 1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 april 2012 - 13:50

Ja, ik ben het er helemaal mee eens dat het zo beter is. Dus is het m.a.w. het beste om zo objectief mogelijk te blijven.
Maar dan nu de vraag van 'deel 2' klopt mijn manier van redeneren daar ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 april 2012 - 14:11

Ja, ik ben het er helemaal mee eens dat het zo beter is. Dus is het m.a.w. het beste om zo objectief mogelijk te blijven.

Je moet natuurlijk voldoende 'volledig' zijn, maar overbodige dingen weglaten en je beperken tot een objectieve redenering - dat lijkt me inderdaad goed.

Maar dan nu de vraag van 'deel 2' klopt mijn manier van redeneren daar ?

Wat is er precies gevraagd?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 april 2012 - 14:30

Je moet natuurlijk voldoende 'volledig' zijn, maar overbodige dingen weglaten en je beperken tot een objectieve redenering - dat lijkt me inderdaad goed.


Wat is er precies gevraagd?


Aan te tonen dat de functie voor geen enkele waarde A continu zal zijn. En intuïtief vermoeden we natuurlijk dat dit het geval is. het is eenvoudig om aan te tonen dat er een rij bestaat die naar het punt (0, 0) convergeert, bv. dezelfde rij als hierboven ((1 / k), (1 / k)) en dan kunnen we met dezelfde redenering aantonen dat omdat (1 / k) ≠ 0 zal f((1 / k), (1 / k)) ≠ (0, 0) en dus zal f((1 / k), (1 / k) niet naar A convergeren maar naar de limiet waarde van (xy) / (x2 + y2). Akkoord ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 april 2012 - 16:44

Hoezo niet naar A maar naar 'de limietwaarde'? Weet je al of die functie wel een limiet heeft in (0,0)?

Hint: het is net omdat de functie géén limiet heeft in (0,0), dat er geen A gevonden kan worden zodat f continu is. Zoek twee rijtjes die naar (0,0) convergeren maar waarvoor de respectievelijke beeldrijen verschillende limieten hebben.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 april 2012 - 18:46

Hoezo niet naar A maar naar 'de limietwaarde'? Weet je al of die functie wel een limiet heeft in (0,0)?

Hint: het is net omdat de functie géén limiet heeft in (0,0), dat er geen A gevonden kan worden zodat f continu is. Zoek twee rijtjes die naar (0,0) convergeren maar waarvoor de respectievelijke beeldrijen verschillende limieten hebben.


Ja, daar ben ik het mee eens. mee anders kon deze A natuurlijk wel gevonden worden.
Voor ((1 / k), (1 / k)) convergeert de beeldrij naar 1 / 2; dus nu volstaat het om nog een rij te zoeken die naar (0, 0) convergeert maar waarvoor de beeldrij niet naar 1 / 2 convergeert.

Veranderd door Biesmansss, 24 april 2012 - 18:56

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 april 2012 - 19:03

Bv de rij ((1 / k), (1 / k2 ) voor de limiet van de beelrij krijgen we dan toch 0 ? of heb ik me ergens mis rekent ?

Waardoor bewezen is dat we geen enkele A kunnen vinden die hieraan voldoet.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 april 2012 - 20:15

Eenvoudiger: (1/k,0) convergeert ook naar (0,0) en...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 april 2012 - 22:47

Eenvoudiger: (1/k,0) convergeert ook naar (0,0) en...


en de beeldrij hiervan convergeert ook naar 0; maar mijn keuze is ook correct, toch ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 april 2012 - 22:59

De beeldrij is zelfs constant 0, dus daarvan is het 'triviaal' dat'ie naar 0 convergeert; maar jouw rij is ook oké.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 april 2012 - 08:32

Ok, bedankt voor de uitleg TD! :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 april 2012 - 08:45

Oké, graag gedaan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures