Springen naar inhoud

discretiseren van een differentiaalvergelijking



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Uomo Universale

    Uomo Universale


  • >250 berichten
  • 411 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 april 2012 - 18:51

Om een differentiaalvergelijking te discretiseren, gebruiken we de methode van Euler om de afgeleiden van een continue functie y(t) te benaderen.

(a) Bepaal de benadering voor de derde afgeleide:

LaTeX

(b) Welke differentievergelijking bekom je door de derde-orde differentiaalvergelijking LaTeX te discretiseren met stapgrootte T=1/2

----------------------------------------------------------

(a) Hier zou ik eigenlijk echt niet goed weten wat men bedoelt. Eerst en vooral heb ik de notatie met die verticale streep nog niet tegen gekomen in deze cursus. Maar ik veronderstel dat ze wil zeggen: 'voor alle t die een veelvoud zijn van T, waarbij T de stapgrootte is'.

Ergens in mijn cursus heb ik een centrale differentiebenadering van y'''(t) staan als volgt: LaTeX
Hoe men hier aan komt is mij toch een beetje een raadsel. Ik dacht dat dit volgde uit de Taylor-ontwikkeling, maar na zelf dit geprobeerd te hebben, kwam ik daar niet aan.

Nu goed, aangezien de Euler-benadering mijns inziens een voorwaartse benadering is, is de centrale benadering zoals ik in mijn cursus vond volgens mij dus geen correct antwoord op de vraag en ging ik dat dan maar zelf proberen via de Taylor-ontwikkeling (aangezien ze vragen dit via de Euler-benadering te doen). Ik kom op het volgende:
Ik weet dat de Taylor-ontwikkeling voor f(x) de volgende is Geplaatste afbeelding

Als ik deze nu dus toepas voor y(t), en de term die de derde afgeleide is afzonder, dan bekom ik na verwaarlozing van termen met hogere afgeleiden het volgende:

LaTeX

Discretisatie hiervan levert volgens mij het volgende: LaTeX

Dit is wat ik dus als antwoord zou geven, maar ik heb eigenlijk geen flauw benul of ze dit wel bedoelen. Iemand die me hier kan helpen?

(b) Steunend op het vorige antwoord zou ik dan deze differentiaalvergelijking eerst benaderen als volgt:

LaTeX

Als ik dit dan discretiseer met stapgrootte 1/2 bekom ik:

LaTeX

Ook hier weet ik niet of dit correct is. Als vraag (a) fout is, zal logischerwijs ook fout zijn, maar ik vroeg me af of ik die stapgrootte 1/2 ook juist ingevoerd heb (want zoiets ben ik ook nooit eerder tegengekomen in mijn cursus).


Bedankt alvast!

Veranderd door Uomo Universale, 24 april 2012 - 18:53


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 april 2012 - 18:39

Iemand die hier een handje kan toesteken?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 april 2012 - 22:32

Voor a, gebruik de volgende benadering (dit is de centrale differentiebenadering van de eerste afgeleide):
LaTeX
Gebruik deze benadering voor de benadering van de tweede afgeleide:
LaTeX
Gebruik de resulterende benadering dan weer voor de benadering van de derde afgeleide. Je krijgt dan een formule met daarin termen LaTeX . Dat is meestal niet gewenst. Daarom wordt het gemiddelde genomen met:
LaTeX
Je hebt als het goed is dan de formule gevonden die je gegeven was.

#4

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 april 2012 - 06:54

Ik zie dat ik iets over het hoofd gezien had. Het volgen van mijn eerdere antwoord laat je zien hoe je tot de gegeven formule voor de centrale differentiebenadering komt. Je hebt bij de vraag echter de voorwaartse differentiebenadering nodig. De methode blijft verder wel hetzelfde (en ik denk dat het afleiden van de formule in je cursus nog steeds handig kan zijn), dus:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

#5

Uomo Universale

    Uomo Universale


  • >250 berichten
  • 411 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 april 2012 - 12:18

Voor a, gebruik de volgende benadering (dit is de centrale differentiebenadering van de eerste afgeleide):
LaTeX


Gebruik deze benadering voor de benadering van de tweede afgeleide:
LaTeX
Gebruik de resulterende benadering dan weer voor de benadering van de derde afgeleide. Je krijgt dan een formule met daarin termen LaTeX . Dat is meestal niet gewenst. Daarom wordt het gemiddelde genomen met:
LaTeX
Je hebt als het goed is dan de formule gevonden die je gegeven was.

Dit heb ik ondertussen eens geprobeerd, en ik kom correct uit, behalve dat ik in mijn cursus nog 2Deltat in m'n noemer heb staan en hier niet, maar dat komt doordat ze in mijn cursus in de eerste stap uitgingen van LaTeX . Ik moet wel zeggen dat ik, in tegenstelling tot wat je zei, geen formule uitkwam met een term Deltat/2, en bijgevolg moest ik ook niet het gemiddelde nemen (als ik dat wel deed, kwam ik iets veel complexer uit wat vermoedelijk fout is).
Maar bedankt hiervoor! Want nu weet ik tenminste vanwaar die centrale, voorwaartse en achterwaartse differentiebenaderingen van hogere orde komen. In mijn cursus wordt dit nergens uitgelegd, maar het is nu wel handig dit te weten.

Ik zie dat ik iets over het hoofd gezien had. Het volgen van mijn eerdere antwoord laat je zien hoe je tot de gegeven formule voor de centrale differentiebenadering komt. Je hebt bij de vraag echter de voorwaartse differentiebenadering nodig. De methode blijft verder wel hetzelfde (en ik denk dat het afleiden van de formule in je cursus nog steeds handig kan zijn), dus: LaTeX

LaTeX LaTeX LaTeX LaTeX

Oké, op die manier wordt de benadering van de DV bij vraag b de volgende:

LaTeX

Als ik dit nu discretiseer met stapgrootte T = 1/2 dan bekom ik volgens mij:

LaTeX

Is deze discretisatie juist? (ik heb dit nooit echt eerder op deze manier moeten doen) M.a.w. zou dit vermoedelijk het juiste antwoord op het gevraagde kunnen zijn?

Bedankt alvast EvilBro!

Veranderd door Uomo Universale, 27 april 2012 - 12:19


#6

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 april 2012 - 13:35

Ik moet wel zeggen dat ik, in tegenstelling tot wat je zei, geen formule uitkwam met een term Deltat/2,

Dan doe ik of jij iets fout...
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
Delen door LaTeX en toch LaTeX is volgens mij onjuist.

Over de discretisatie: Je moet t vervangen door LaTeX en LaTeX . Volgens mij doe je dat nu niet goed.

#7

Uomo Universale

    Uomo Universale


  • >250 berichten
  • 411 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 april 2012 - 14:27

Dan doe ik of jij iets fout...
LaTeX


LaTeX
LaTeX
LaTeX
Delen door LaTeX en toch LaTeX is volgens mij onjuist.

Het is wel degelijk ik die iets fout doe. Tot aan de tweede differentiebenadering kwamen we gelijk uit, maar daarna had ik een stomme fout gemaakt.
Verder heb je ook gelijk dat delen door LaTeX en toch LaTeX onjuist is. In mijn boek gingen ze uit van LaTeX , in tegenstelling tot wat ik in m'n vorige post zei. Ik moet misschien toch wat meer geconcentreerd zijn..


Over de discretisatie: Je moet t vervangen door LaTeX

en LaTeX . Volgens mij doe je dat nu niet goed.

Aha! Dat is inderdaad ook heel logisch. Al wat ik voorlopig had gezien van discretisatie waren telkens gevallen waarbij de stapgrootte 1 was. Zonder al te veel na te denken had ik dus domweg overal 'i' geplaatst, niet al te schrander dus.

Bon, derde keer goede keer hoop ik:
LaTeX

Zou dit dan de correcte oplossing kunnen zijn?

Veranderd door Uomo Universale, 27 april 2012 - 14:30


#8

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 april 2012 - 15:08

Lijkt me correct (mits ik me niet vergis...)

#9

Uomo Universale

    Uomo Universale


  • >250 berichten
  • 411 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 april 2012 - 15:23

Enorm bedankt voor je hulp EvilBro!
Het gaat me bij zo'n vragen niet meteen om het antwoord, maar wel om de gebruikte methode. Dankzij jouw hulp heb ik terug een stukje meer inzicht gekregen in de materie. Bedankt!






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures