Springen naar inhoud

Lemma



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 april 2012 - 08:52

Het is mij niet helemaal duidelijk wat nu net het doel is van volgend Lemma:

∀ ε > 0, ∃ σ > 0, ∀ t R: |t| < σ => |et - 1| < ε

Dus kies een willekeurige epsilon, dan bestaat er een sigma zodat voor alle t waarvoor geldt dat de absolute waarde hiervan kleiner is dan sigma de rij (is dat een rij ?) convergeren naar 1 ?

Ik weet dat dit lemma sterk (om niet te zeggen bijna exact) is afgeleidt van:

∀ ε > 0, ∃ σ > 0, ∀ q Q: |q| < σ => |aq - 1| < ε

Ook hier vraag ik mij af wat nu net het doel is van dit lemma ? Is aq een rij of hoe moet ik dit alles zien ? :shock:
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 april 2012 - 08:57

Dit lemma zegt je, in vrije bewoordingen, dat voor een t (in R) niet te groot (dicht bij 0) et bijna 1 is... Waarschijnlijk staat dat gewoon apart bewezen omdat 1) het iets is wat je soms gaat kunnen gebruiken en 2) men dat resultaat nodig had om iets anders, belangrijkers te bewijzen. En soms is het handig, voor onder meer het overzicht en de lijn van het bewijs, om deelresultaten apart te bewijzen.

Dat opvatten als een rij is overigens niet zo handig/slim, omdat (-sigma, sigma) een overaftelbaar interval is, en een rij bestaat altijd uit aftelbaar aantal elementen...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 april 2012 - 09:05

Bedoel je onder meer het volgende probleem: Als men dit zou opvatten als een rij zou men langs twee kanten naar 1 convergeren zowel langs de kan -0 als de kant 0.

Het tweede (dus dit i.v.m. a) werd in mijn cursus volgens mij gebruikt om te bewijzen dat:

De uitbreiding van Q naar R voor exponentiële functies. We kunnen aq gebruiken voor exponentiële functies omdat we met een rij qn elk reëel getal kunnen bereiken. Maar we stellen ons de vraag of elke limiet wel eindig is en of deze niet afhankelijk is van de keuze van de rij.

"Volgend lemma is de sleutel tot het antwoord"

Dus waarom is dit ? oO

Veranderd door Biesmansss, 25 april 2012 - 09:06

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 april 2012 - 09:11

Probeer dat eens zelf uit te leggen of in te zien... Dat je limiet eindig is, zie je of niet echt? We zullen daarmee beginnen alvast.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 april 2012 - 09:23

Goh uitleggen dat deze limiet eindig is. Aangezien je sowieso met een interval zit. Moet dit wel een eindige limiet hebben toch ? Je hebt de uitersten q = -sigma en q = + sigma en dan heb je nog de q -> 0.

Veranderd door Biesmansss, 25 april 2012 - 09:33

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 april 2012 - 10:05

Wat je je moet afvragen, is waarom ar eindig is voor elke r in R, gebruikmakend van een rij in Q die convergeert naar deze r...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 april 2012 - 10:09

Wat je je moet afvragen, is waarom ar eindig is voor elke r in R, gebruikmakend van een rij in Q die convergeert naar deze r...


Dat is toch enkel dankzij de beperkingen die we opleggen aan de rij in Q ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 april 2012 - 10:11

Ik zeg ook niet dat het iets heel moeilijks is ofzo ;). Maar kun je wat preciezer proberen te zijn? Dus: wiskundig ipv intuïtief.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 april 2012 - 10:24

|q| < A

Wat equivalent is met
-A < q < A

We mogen dus stellen dat a(-A) een 'ondergrens' is en dat a(A) een 'bovengrens' is

∀ r R, ∃ A > 0, r < |A| => a(-A) < ar < a(A)

Iets in deze aard ? concreet toegepast ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 april 2012 - 10:32

Het is iets in die aard ja. Maar toch nog wat subtieler eigenlijk. Om te beginnen: waarom is a(-A) eindig? Dat lijkt stom (en is het misschien ook), maar tenzij je meer weet dan alleen dat lemma, geen gegeven...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 april 2012 - 10:47

a(-A) = 1 / (aA)

We weten, dankzij het lemma dat a een element is van R+0, dus we moeten ons geen zorgen maken over het divergeren.

En toen dacht ik iets in de aard van:
Voor de rest kunnen we stellen dat voor elke a element van r lim 1 / (aA) = 0. Dus we krijgen een mogelijk begrensde verzameling van ]0, 1[.

Maar dit klopt toch niet ? Want stel nu a = 0.1, dit is een element van R+0; akkoord ?
Stel A = 2 en dus -A = -2
Dan krijgen we voor

1 / (0.12) = 100

Begrijp je waar ik hier over struikel ?

Als A nu zou moeten liggen tussen ]0, 1[ was het natuurlijk helemaal anders, maar dat legt het lemma niet op ?

Of verwar ik nu enkele dingen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 april 2012 - 12:57

Nu verander je de interpretatie wel volledig... De volgorde waarin je keuzes maakt is van cruciaal belang. Staat er in je cursus niet uitgelegd hoe het volgt uit dat lemma? Zonee, zal ik proberen een zo volledig mogelijke uitleg te geven. Al zijn het eerder technische details. De essentie van je lemma, is dat je in de buurt van 0 braaf gedrag hebt (convergentie naar 1).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 april 2012 - 13:03

Nu verander je de interpretatie wel volledig... De volgorde waarin je keuzes maakt is van cruciaal belang. Staat er in je cursus niet uitgelegd hoe het volgt uit dat lemma? Zonee, zal ik proberen een zo volledig mogelijke uitleg te geven. Al zijn het eerder technische details. De essentie van je lemma, is dat je in de buurt van 0 braaf gedrag hebt (convergentie naar 1).


Dus indirect legt het lemma wel op dat de A zich rond 0 situeert. Maar hoe bewijzen we hieruit dan dat
a(-A) = 1 / (aA) begrensd is ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#14

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 april 2012 - 13:42

Mogen we niet werken met iets in de aard van:
0 < A < 1

a0 < aA < a1
Lim a0 < Lim aA < Lim a1
0 < Lim aA < 1

Waardoor we mogen besluiten dat aA begrensd is ? Of zit ik er compleet naast ?
Wat natuurlijk nog wel niets zegt over a-A
Tenzij we hierbij mogen betrekken dat |a-A| = aA enkel convergeert als a-A convergeert ?

Veranderd door Biesmansss, 25 april 2012 - 13:51

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#15

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 april 2012 - 13:55

Sja, het probleem is steeds weer: wat weet je en wat weet je niet? Weet je bijvoorbeeld dat de exponentiële monotoon stijgend is?

Het is misschien niet zo slecht om eens hier te kijken. Als je wilt, kunnen we dat hier ook uitwerken uiteraard.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures