[wiskunde] Bewijs continuïteit functie

Biesmansss

Ik zou graag bewijzen dat de functie f: R⁺ -> R: e^0.06t - 1 - t/10 continu is.

Hiervoor volstaat het om te bwijzen dat de verschillende component functies continu zijn. Akkoord ?

f1 = e^0.06t

f2 = 1

f3 = t / 10

De bewijzen van f2 en f3 zijn triviaal, maar hoe bewijs ik dat f1 continu is ?

Bewijs f1

Om te bewijzen dat f1 continu is volstaat het om aan te tonen dat wanneer we een willekeurige a ∈ R kiezen en een willekeurige rij Xk die naar deze a convergeert; dan ook f(Xk) naar f(a) zal convergeren.

ies een willekeurige ε > 0.

Aangezien de Lim Xk = a, bestaat er een k1 _∈N zodat |Xk -a| < ε; voor alle indices k ≥ k1.

We weten dat:

f(Xk) = e^0.06Xk

f(a) = e^0.06a

|(e^0.06Xk) - (e^0.06a)| = |e^{0.06(Xk - a)}|

Maar nu zit ik dus een beetje vast ?

Drieske

De laatste gelijkheid die je typt, klopt niet... Verder ben ik wel akkoord met je strategie.

Biesmansss

Drieske schreef: ↑wo 25 apr 2012, 13:54
De laatste gelijkheid die je typt, klopt niet... Verder ben ik wel akkoord met je strategie.

Uiteraard dat deze niet klopt, dat is enkel bij delingen; sorry hier heb ik me vergist.

En al maar goed dat dit niet klopt want anders zou het er uiteindelijk op neerkomen dat we het niet kleiner kunnen krijgen dan 1, of niet ?

Maar hoe moet ik dan verder vanaf:

|(e^0.06Xk) - (e^0.06a)|

Drieske

Het hangt er natuurlijk een beetje vanaf wat je weet. Willen we er van uitgaan dat je dat lemma uit je andere topic weet? Dat vergemakkelijkt het werk een beetje. Je krijgt dan:

\(|e^{0,006 a}(e^{0,06(X_k - a)} - 1)|\)

. Zie je hoe dat lemma helpt?

Biesmansss

Drieske schreef: ↑wo 25 apr 2012, 14:02
Het hangt er natuurlijk een beetje vanaf wat je weet. Willen we er van uitgaan dat je dat lemma uit je andere topic weet? Dat vergemakkelijkt het werk een beetje. Je krijgt dan:
\(|e^{0,006 a}(e^{0,06(X_k - a)} - 1)|\)
. Zie je hoe dat lemma helpt?

Ja, want we kunnen de term e^{0.06(Xk - a)} zo dicht bij 1 krijgen als we maar willen, omdat we |Xk - a| willekeurig klein kunnen krijgen. Hieruit volgt dan dat we (e^{0.06(Xk - a)} - 1) ook kleiner kunnen krijgen

als ɛ / (e^0.06a).

Wat ons uiteindelijk brengt tot:

(e^0.06a).|(e^{0.06(Xk - a)} - 1)| ≤ (e^0.06a).(ɛ / (e^0.06a)) = ɛ

Iets in deze aard ?

Drieske

Klopt helemaal. Met de nevenopmerking dat e^0.06a eindig is nog eventueel

.

Biesmansss

Drieske schreef: ↑wo 25 apr 2012, 14:09
Klopt helemaal. Met de nevenopmerking dat e^0.06a eindig is nog eventueel .

En dat brengt ons weer terug naar de topic van ons lemma.

Bedankt Dries.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] Bewijs continuïteit functie

Bewijs continu

Re: Bewijs continu

Re: Bewijs continu

Re: Bewijs continu

Re: Bewijs continu

Re: Bewijs continu

Re: Bewijs continu