[wiskunde] Bewijs continuïteit functie
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
- Berichten: 1.201
Bewijs continu
Ik zou graag bewijzen dat de functie f: R+ -> R: e0.06t - 1 - t/10 continu is.
Hiervoor volstaat het om te bwijzen dat de verschillende component functies continu zijn. Akkoord ?
f1 = e0.06t
f2 = 1
f3 = t / 10
De bewijzen van f2 en f3 zijn triviaal, maar hoe bewijs ik dat f1 continu is ?
Bewijs f1
Om te bewijzen dat f1 continu is volstaat het om aan te tonen dat wanneer we een willekeurige a ∈ R kiezen en een willekeurige rij Xk die naar deze a convergeert; dan ook f(Xk) naar f(a) zal convergeren.
ies een willekeurige ε > 0.
Aangezien de Lim Xk = a, bestaat er een k1 ∈N zodat |Xk -a| < ε; voor alle indices k ≥ k1.
We weten dat:
f(Xk) = e0.06Xk
f(a) = e0.06a
|(e0.06Xk) - (e0.06a)| = |e0.06(Xk - a)|
Maar nu zit ik dus een beetje vast ?
Hiervoor volstaat het om te bwijzen dat de verschillende component functies continu zijn. Akkoord ?
f1 = e0.06t
f2 = 1
f3 = t / 10
De bewijzen van f2 en f3 zijn triviaal, maar hoe bewijs ik dat f1 continu is ?
Bewijs f1
Om te bewijzen dat f1 continu is volstaat het om aan te tonen dat wanneer we een willekeurige a ∈ R kiezen en een willekeurige rij Xk die naar deze a convergeert; dan ook f(Xk) naar f(a) zal convergeren.
ies een willekeurige ε > 0.
Aangezien de Lim Xk = a, bestaat er een k1 ∈N zodat |Xk -a| < ε; voor alle indices k ≥ k1.
We weten dat:
f(Xk) = e0.06Xk
f(a) = e0.06a
|(e0.06Xk) - (e0.06a)| = |e0.06(Xk - a)|
Maar nu zit ik dus een beetje vast ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
- Berichten: 10.179
Re: Bewijs continu
De laatste gelijkheid die je typt, klopt niet... Verder ben ik wel akkoord met je strategie.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs continu
Uiteraard dat deze niet klopt, dat is enkel bij delingen; sorry hier heb ik me vergist. En al maar goed dat dit niet klopt want anders zou het er uiteindelijk op neerkomen dat we het niet kleiner kunnen krijgen dan 1, of niet ?Drieske schreef: ↑wo 25 apr 2012, 13:54
De laatste gelijkheid die je typt, klopt niet... Verder ben ik wel akkoord met je strategie.
Maar hoe moet ik dan verder vanaf:
|(e0.06Xk) - (e0.06a)|
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
- Berichten: 10.179
Re: Bewijs continu
Het hangt er natuurlijk een beetje vanaf wat je weet. Willen we er van uitgaan dat je dat lemma uit je andere topic weet? Dat vergemakkelijkt het werk een beetje. Je krijgt dan:
\(|e^{0,006 a}(e^{0,06(X_k - a)} - 1)|\)
. Zie je hoe dat lemma helpt?Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs continu
Ja, want we kunnen de term e0.06(Xk - a) zo dicht bij 1 krijgen als we maar willen, omdat we |Xk - a| willekeurig klein kunnen krijgen. Hieruit volgt dan dat we (e0.06(Xk - a) - 1) ook kleiner kunnen krijgenDrieske schreef: ↑wo 25 apr 2012, 14:02
Het hangt er natuurlijk een beetje vanaf wat je weet. Willen we er van uitgaan dat je dat lemma uit je andere topic weet? Dat vergemakkelijkt het werk een beetje. Je krijgt dan:\(|e^{0,006 a}(e^{0,06(X_k - a)} - 1)|\). Zie je hoe dat lemma helpt?
als ɛ / (e0.06a).
Wat ons uiteindelijk brengt tot:
(e0.06a).|(e0.06(Xk - a) - 1)| ≤ (e0.06a).(ɛ / (e0.06a)) = ɛ
Iets in deze aard ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
- Berichten: 10.179
Re: Bewijs continu
Klopt helemaal. Met de nevenopmerking dat e0.06a eindig is nog eventueel .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs continu
Drieske schreef: ↑wo 25 apr 2012, 14:09
Klopt helemaal. Met de nevenopmerking dat e0.06a eindig is nog eventueel .
En dat brengt ons weer terug naar de topic van ons lemma.
Bedankt Dries.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes