[wiskunde] Lineaire transformatie

VincentM

Hallo,

Ik heb een aantal problemen met volgende oefening vanaf vraag 2:

: Naamloos.png (58.08 KiB) 244 keer bekeken

(2) de kern is makkelijk bepaald, dit zijn alle vectoren parallel met u. Dit is dus een rechte in de 3D ruimte en zal dus dimensie 1 hebben. Ik moet dus nog een beeld vinden van dimensie 2 (een vlak). Hoe bepaal ik dit vlak?

(3) Dit zal wel kloppen:

De matrix mB(T) zijn kolommen zijn de eenheidsvectoren e1, e2 en e3 vectorieel vermenigvuldigd met vector u.

: Naamloos.png (1.68 KiB) 239 keer bekeken

(4) Ik neem dus voor B' als eerste eenheidsvector, de vector u genormeerd. Want wanneer we deze eenheidsvector aan onze transformatie onderwerpen zal ze op de nulvector worden afgebeeld (en dit is 'eenvoudig').

Nu moet ik nog de 2e eenheidsvector e2' bepalen. Hoe doe ik dit?

e3' is logischerwijs e1' x e2'.

(5)(6) kan ik niet oplossen door (4)

Kan er iemand mij verder helpen?

Vriendelijke groet

Vincent

Drieske

VincentM schreef: ↑wo 25 apr 2012, 14:17
(2) de kern is makkelijk bepaald, dit zijn alle vectoren parallel met u. Dit is dus een rechte in de 3D ruimte en zal dus dimensie 1 hebben. Ik moet dus nog een beeld vinden van dimensie 2 (een vlak). Hoe bepaal ik dit vlak?

Wat is de meetkundige betekenis van dit product? Ik denk, daar je de kern weet, wel wat deze is, maar in mijn ogen geeft ze je ook de meetkundige interpretatie van het beeld. Immers staat u x v loodrecht op...

VincentM

u x v staat loodrecht op u en v. Dus u x v kan een rechte zijn, maar das enkel van 1 dimensie.

Drieske

Ja, maar enkel u is vast. Dus je kunt twee v's kiezen die loodrecht op u staan. Noem ze v1 en v2. Dan weet je van u x v1 en u x v2 dat...?

VincentM

u, v1 en u x v1 vormen een basis waarbij u x v2 als lineaire combinatie voor te stellen is.

Drieske

Je bekijkt het wel heel vreemd... Je ruimte heeft 3 vectoren, v₁, v₂ en v₃ die samen alles voortbrengen. Je kunt deze 3 loodrecht op elkaar kiezen én zodat v₃ "parallel" loopt met je u. Dan staan v₁ en v₂ loodrecht op u. Je weet al dat je kern dan eigenlijk de (deel)ruimte is voortgebracht door v₃. Je wilt nu nog het beeld weten. Dat is de ruimte opgespannen door u x v₁ en u x v₂. Akkoord tot hier?

VincentM

Ok, dus het is gewoon het transformeren van je basisvectoren van de 3D ruimte. Omdat beide ruimten over hetzelfde scalairenveld gaan en T een lineaire transformatie is, die injectief is, (want het is een endomorfisme) transformeert T elke basis van V in een basis voor im(T). Zo schieten er maar 2 basisvectoren over die het beeld opspannen. Dus idd akkoord tot daar

Drieske

Okee. Nu moet je je nog afvragen: zijn die twee vectoren een basis? En zoja, welke ruimte spannen ze op. Hiervoor raad ik je aan eens drie loodrechte vectoren te nemen. Eentje daarvan is dan je u zogezegd. En bekijk nu waar het vectorieel product van de twee anderen met u terecht komt.

VincentM

Drieske schreef: ↑vr 27 apr 2012, 10:44
En bekijk nu waar het vectorieel product van de twee anderen met u terecht komt.

Is dat een vlak evenwijdig met het vlak waarin v1 en v2 liggen?

Drieske

Eigenlijk is het zelfs gewoon het vlak waarin v1 en v2 liggen...

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] Lineaire transformatie

Lineaire transformatie

Re: Lineaire transformatie

Re: Lineaire transformatie

Re: Lineaire transformatie

Re: Lineaire transformatie

Re: Lineaire transformatie

Re: Lineaire transformatie

Re: Lineaire transformatie

Re: Lineaire transformatie

Re: Lineaire transformatie